Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019

a) Para mostrar que 16, 24 e 81 podem estar numa mesma PG, fatoramos os números: 16=2^4, 24=2^3\cdot 3 e 81=3^4.

O quociente entre 24 e 16 é \dfrac{24}{16}=\dfrac{3}{2}. O quociente entre 81 e 24 é \dfrac{81}{24}=\dfrac{27}{8}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^3.

Logo, com razão q=\dfrac32, a PG

contém os três números, e 24 e 81 aparecem 1 e 4 passos depois de 16. Isso mostra que eles podem pertencer a uma mesma PG.

Quantidade de termos. Como os termos são naturais, a razão q é racional positiva. Escreva q=\dfrac ab com a e b primos entre si. Se 24 está m passos depois de 16, então \left(\dfrac ab\right)^m=\dfrac32. Como a^m e b^m também são primos entre si, temos a^m=3 e b^m=2, o que só é possível com m=1. Portanto q=\dfrac32.

A PG é então \dots,\,16\cdot\left(\tfrac23\right)^k,\dots,16,24,36,54,81,\dots (ou a mesma sequência ao contrário, com q=\tfrac23).

1. Termo anterior a 16: seria 16\cdot\dfrac23=\dfrac{32}{3}, que não é natural. Então 16 é o primeiro termo.
2. Termo seguinte a 81: seria 81\cdot\dfrac32=\dfrac{243}{2}, que não é natural. Então 81 é o último termo.

A PG é, portanto, 16,24,36,54,81 e tem exatamente 5 termos.

A PG tem 5 termos.

Assunto: Progressão geométrica.

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