PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2019
Dadas as funções definidas nos reais \mathbb{R}:
f_1(x) = e^x, f_2(x) = \sen(x), f_3(x) = \cos(x), f_4(x) = \sen(2x) e f_5(x) = e^{-x}.
Mostre que existe uma única solução a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, tal que:
a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x) + a_3 f_3(x) + a_4 f_4(x) + a_5 f_5(x) seja a função constante nula, onde a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \in \mathbb{R}.
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Resolução comentada
Precisamos mostrar que a única combinação linear que dá a função nula é a trivial, a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=0. Ela de fato é solução, então basta provar que não há outra.
Suponha que, para todo x\in\mathbb{R},
Passo 1: a_1=0. Divida tudo por e^x:
Quando x\to+\infty, o numerador da fração é limitado, pois |a_2\sen x + a_3\cos x + a_4\sen 2x|\le |a_2|+|a_3|+|a_4|, e e^x\to\infty. Assim a fração tende a 0. Além disso, e^{-2x}\to 0. Logo a_1=0.
Passo 2: a_5=0. Com a_1=0, divida por e^{-x}:
Quando x\to-\infty, e^x\to0 e o parêntese é limitado. Então o produto tende a 0 e a_5=0.
Passo 3: os demais coeficientes. Resta a_2\sen x + a_3\cos x + a_4\sen 2x=0 para todo x. Vamos substituir valores convenientes:
- x=0: a_3=0.
- x=\pi/2: a_2\cdot1 + a_3\cdot 0 + a_4\sen\pi = a_2=0.
- x=\pi/4: a_4\sen(\pi/2)=a_4=0.
Portanto todos os coeficientes são nulos. A única solução é (0,0,0,0,0), isto é, as cinco funções são linearmente independentes.
Assunto: Conceito de função, composta e inversa.
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Fonte: IME 2ª fase 2019 · Matemática. Prova oficial ↗