PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 9 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018
Considere um triângulo ABC onde BC = a, AB = c, AC = b, c > b. O círculo inscrito a esse triângulo tangencia BC em D e DE é um diâmetro desse círculo. A reta que tangencia o círculo e que passa por E intercepta AB em P e AC em Q. A reta AE intercepta BC no ponto R. Determine os segmentos de reta EQ e DR em função dos lados do triângulo: a, b e c.
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Resolução comentada
a) Seja s=\frac{a+b+c}{2} o semiperímetro. Como DE é diâmetro, a tangente em E é paralela à tangente em D, ou seja, PQ\parallel BC. Logo APQ\sim ABC.
O círculo inscrito em ABC tangencia AB, AC e PQ e fica do lado de PQ oposto a A. Então ele é o círculo ex-inscrito de APQ relativo a A. O comprimento da tangente de A a esse círculo vale:
- no triângulo ABC (círculo inscrito): s-a;
- no triângulo APQ (círculo ex-inscrito): o semiperímetro de APQ.
Portanto o semiperímetro de APQ é s-a, e a razão de semelhança é
Assim, AQ=kb=\dfrac{b(b+c-a)}{a+b+c}.
Seja F o ponto de tangência do círculo com AC. Então AF=s-a=\frac{b+c-a}{2}. As tangentes traçadas de Q são iguais, logo EQ=QF=AF-AQ:
EQ=\dfrac{(b+c-a)(a+c-b)}{2(a+b+c)}
b) Por simetria, EP=\dfrac{(b+c-a)(a+b-c)}{2(a+b+c)}. Somando, PQ=EP+EQ=\dfrac{a(b+c-a)}{a+b+c}=ka, o que confere.
A homotetia de centro A e razão 1/k leva P\to B, Q\to C e E\to R, pois E está em PQ e R é a interseção de AE com BC. Então
Como D é o ponto de tangência do círculo inscrito com BC, BD=s-b=\dfrac{a+c-b}{2}.
Como c>b, temos BR<BD, e
DR=c-b
Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Triângulos: congruência e pontos notáveis, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.
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Fonte: IME 2ª fase 2018 · Matemática. Prova oficial ↗