Correção IME 2027 · MatemáticaAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Considere a elipse abaixo, onde DD' é uma corda passando pelo seu centro, MM' uma corda focal e o eixo maior da elipse é 2a. Prove que:

Elipse de centro C contendo seu eixo maior horizontal e duas cordas paralelas inclinadas por um ângulo θ em relação ao eixo focal: a corda DD', passando pelo centro C, e a corda focal MM', passando pelo foco F. Acima da elipse, consta a relação DD'² = MM' · 2a.

Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Demonstração.

Coloque a elipse com centro na origem e eixo maior no eixo x:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad c^2=a^2-b^2,\qquad F=(c,0).

As duas cordas têm a mesma direção (\cos\theta,\ \sen\theta), pois são paralelas. Defina

K=\frac{\cos^2\theta}{a^2}+\frac{\sen^2\theta}{b^2}.

1) A corda DD' (pelo centro).

Os pontos da reta são t(\cos\theta,\ \sen\theta). Substituindo na elipse, t^2K=1, logo t=\pm 1/\sqrt K. Os pontos D e D' são simétricos em relação ao centro, então

DD'=\frac{2}{\sqrt K}\ \Rightarrow\ DD'^2=\frac{4}{K}.

2) A corda focal MM'.

Os pontos da reta por F são (c+r\cos\theta,\ r\sen\theta), onde r é a distância orientada a partir de F. Substituindo na elipse:

\frac{(c+r\cos\theta)^2}{a^2}+\frac{r^2\sen^2\theta}{b^2}=1.

Desenvolvendo e usando \dfrac{c^2}{a^2}-1=-\dfrac{b^2}{a^2}:

K r^2+\frac{2c\cos\theta}{a^2}\,r-\frac{b^2}{a^2}=0.

Sejam r_1 e r_2 as raízes, que correspondem a M e M'. Então MM'=|r_1-r_2|, e

MM'^2=(r_1+r_2)^2-4r_1r_2=\frac{4c^2\cos^2\theta}{a^4K^2}+\frac{4b^2}{a^2K}=\frac{4}{K^2}\left(\frac{c^2\cos^2\theta}{a^4}+\frac{b^2K}{a^2}\right).

Como \dfrac{b^2K}{a^2}=\dfrac{b^2\cos^2\theta}{a^4}+\dfrac{\sen^2\theta}{a^2} e b^2+c^2=a^2, o parêntese vale

\frac{(b^2+c^2)\cos^2\theta}{a^4}+\frac{\sen^2\theta}{a^2}=\frac{\cos^2\theta+\sen^2\theta}{a^2}=\frac1{a^2}.

Portanto MM'^2=\dfrac{4}{a^2K^2}, ou seja,

MM'=\frac{2}{aK}.

3) Conclusão.

MM'\cdot 2a=\frac{2}{aK}\cdot 2a=\frac{4}{K}=DD'^2.

Logo DD'^2=MM'\cdot 2a. \blacksquare

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 8 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2018

Fonte: IME 2ª fase 2018 · Matemática. Prova oficial ↗