Questão 10 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

a) Seja a a aresta do cubo inicial, de volume V_0=a^3. Vamos achar a razão entre volumes em cada passo.

Cubo → octaedro. Os centros das faces do cubo são os vértices do octaedro. Cada aresta do octaedro liga os centros de duas faces adjacentes, e vale a metade da diagonal de uma face:

O volume do octaedro regular é \frac{\sqrt2}{3}e^3, logo:

Octaedro → cubo. Coloque o octaedro com vértices (\pm r,0,0), (0,\pm r,0), (0,0,\pm r), onde r=a/2. Os centros das suas 8 faces são os baricentros dos triângulos, isto é, os pontos \left(\pm\frac r3,\pm\frac r3,\pm\frac r3\right). Eles formam um cubo de aresta \frac{2r}{3}=\frac a3 e volume \frac{a^3}{27}.

Portanto, de um cubo para o cubo seguinte, o volume é multiplicado por \frac1{27}. Cada octaedro tem \frac16 do volume do cubo que o gerou.

Soma. Os poliedros inscritos são todos os que vêm depois do cubo inicial.

• Octaedros: \frac{a^3}{6}\left(1+\frac1{27}+\frac1{27^2}+\dots\right)=\frac{a^3}{6}\cdot\frac{27}{26}=\frac{9a^3}{52}.
• Cubos inscritos (a partir do segundo): \frac{a^3}{27}\cdot\frac{27}{26}=\frac{a^3}{26}=\frac{2a^3}{52}.

Somando:

Observação: se o cubo inicial também fosse contado, a razão seria \frac{63}{52}. Como o enunciado pede os poliedros inscritos, o cubo inicial fica de fora.

Razão =\dfrac{11}{52}

Assuntos: Progressão geométrica, Poliedros e relação de Euler, Prismas e paralelepípedos.

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