Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

Question

Sejam a, b, c e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que \log_a d, \log_b d e \log_c d são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a, b e c formam uma progressão aritmética em que a < b < c. Sabendo-se que b = b^{\log_a b} - a, determine:

a) Os valores de a, b e c ;

b) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, respectivamente.

Answer 1

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Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Sejam a, b, c e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que \log_a d, \log_b d e \log_c d são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a, b e c formam uma progressão aritmética em que a < b < c. Sabendo-se que b = b^{\log_a b} - a, determine:

a) Os valores de a, b e c ;

b) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, respectivamente.

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Resolução comentada

a) Seja L=\ln d\neq 0, pois d\neq 1. Então \log_a d=\dfrac{L}{\ln a}, e analogamente para b e c.

Os três logaritmos estão em PG, logo (\log_b d)^2=\log_a d\cdot\log_c d. Cancelando L^2:

(\ln b)^2=\ln a\cdot\ln c \qquad (1)

Agora a condição b=b^{\log_a b}-a. Usando (1):

b^{\log_a b}=e^{\frac{(\ln b)^2}{\ln a}}=e^{\ln c}=c.

A condição fica b=c-a. Como a,b,c estão em PA de razão r, temos c-a=2r, então b=2r, a=r e c=3r.

Substituindo em (1) e chamando x=\ln r:

(x+\ln 2)^2=x(x+\ln 3)\Rightarrow x(2\ln 2-\ln 3)=-\ln^2 2\Rightarrow x=-\frac{\ln^2 2}{\ln(4/3)}.

Portanto, com r=e^{x}:

r=e^{-\ln^2 2/\ln(4/3)}\approx 0{,}188.

Os valores são a\approx0{,}188, b\approx0{,}376 e c\approx0{,}565. Todos são positivos, diferentes de 1 e satisfazem a<b<c.

Conferindo numericamente: (\ln b)^2\approx0{,}9544 e \ln a\cdot\ln c\approx0{,}9544.

a=r, b=2r, c=3r, com r=e^{-\ln^2 2/\ln(4/3)}.

b) A razão da PA já saiu do item anterior: r=e^{-\ln^2 2/\ln(4/3)}\approx0{,}188.

A razão da PG é

q=\frac{\log_b d}{\log_a d}=\frac{\ln a}{\ln b}=\frac{x}{x+\ln 2}.

Com x=-\dfrac{\ln^2 2}{\ln(4/3)}:

x+\ln 2=\frac{\ln 2\,[\ln(4/3)-\ln 2]}{\ln(4/3)}=\frac{\ln 2\cdot\ln(2/3)}{\ln(4/3)}.

Dividindo:

q=\frac{-\ln^2 2}{\ln 2\cdot\ln(2/3)}=\frac{\ln 2}{\ln(3/2)}=\log_{3/2}2\approx1{,}71.

r=e^{-\ln^2 2/\ln(4/3)}\approx0{,}188 e q=\log_{3/2}2\approx1{,}71.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Progressão aritmética, Progressão geométrica.

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Questão 4 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2018

Fonte: IME 2ª fase 2018 · Matemática. Prova oficial ↗