Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2018

a) Como o denominador não pode ser zero, vamos multiplicar em cruz e simplificar.

1. Multiplicando em cruz: 2\left(3-4\cos^2 x-\sen x\cos x\right)=10\sen^2 x-8\sen x\cos x.
2. Passando tudo para um lado: 6-8\cos^2 x-10\sen^2 x+6\sen x\cos x=0.
3. Trocando 6 por 6\sen^2 x+6\cos^2 x: -4\sen^2 x-2\cos^2 x+6\sen x\cos x=0.
4. Dividindo por -2: 2\sen^2 x-3\sen x\cos x+\cos^2 x=0.

Isso fatora como

Em |x|\le\frac{\pi}{6} temos \cos x\neq 0, então dá para trabalhar com a tangente:

• \tg x=\dfrac12, ou
• \tg x=1.

No intervalo \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right], a tangente é crescente e vai de -\frac{\sqrt3}{3} a \frac{\sqrt3}{3}\approx 0{,}577.

• \tg x=1 dá x=\frac{\pi}{4}>\frac{\pi}{6}, que está fora do intervalo.
• \tg x=\frac12<\frac{\sqrt3}{3} dá x=\operatorname{arctg}\frac12\approx 0{,}464<\frac{\pi}{6}\approx0{,}524, que serve.

Outras soluções da equação seriam \operatorname{arctg}\frac12+k\pi, e só k=0 cai no intervalo.

Verificação do denominador: 10\sen^2x-8\sen x\cos x=2\sen x(5\sen x-4\cos x). Para \tg x=\frac12, temos \sen x\neq0 e 5\sen x-4\cos x=\cos x\left(\frac52-4\right)\neq0. Logo o denominador não se anula.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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