Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

Question

Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18,5/6). Determine:

a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC;
as coordenadas dos vértices B e C.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Um triângulo ABC tem o seu vértice A na origem do sistema cartesiano, seu baricentro é o ponto D(3,2) e seu circuncentro é o ponto E(55/18,5/6). Determine:

a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC;
as coordenadas dos vértices B e C.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

a) Como A é a origem e o circuncentro E é equidistante dos vértices, o raio é R=EA:

R^2=\left(\frac{55}{18}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{3025}{324}+\frac{225}{324}=\frac{3250}{324}=\frac{1625}{162}

A circunferência é então

\left(x-\frac{55}{18}\right)^2+\left(y-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{1625}{162}

Desenvolvendo, os termos constantes se cancelam com R^2, porque a circunferência passa pela origem:

x^2+y^2-\frac{55}{9}x-\frac{5}{3}y=0

Circunferência: x^2+y^2-\dfrac{55}{9}x-\dfrac{5}{3}y=0.

b) O baricentro é a média dos vértices: \dfrac{A+B+C}{3}=(3,2). Logo B+C=(9,6), e o ponto médio de BC é M\left(\dfrac92,3\right).

O circuncentro está na mediatriz de BC, então EM\perp BC. Calculando:

\vec{EM}=\left(\frac92-\frac{55}{18},\,3-\frac56\right)=\left(\frac{13}{9},\frac{13}{6}\right)\parallel(2,3)

Assim, BC tem direção (3,-2). Escrevemos B=\left(\dfrac92+3t,\,3-2t\right) e C=\left(\dfrac92-3t,\,3+2t\right).

Substituindo B na circunferência:

x^2+y^2=\dfrac{117}{4}+15t+13t^2
-\dfrac{55}{9}x=-\dfrac{55}{2}-\dfrac{55}{3}t
-\dfrac53y=-5+\dfrac{10}{3}t

Somando, os termos em t valem 15-\dfrac{55}{3}+\dfrac{10}{3}=0. Sobra

13t^2+\frac{117}{4}-\frac{110}{4}-\frac{20}{4}=0\Rightarrow 13t^2=\frac{13}{4}\Rightarrow t=\pm\frac12

Para t=\dfrac12: B=(6,2) e C=(3,4). O outro sinal só troca os nomes.

Verificação: 36+4-\dfrac{55}{9}\cdot 6-\dfrac{10}{3}=40-\dfrac{110}{3}-\dfrac{10}{3}=0 e 9+16-\dfrac{55}{3}-\dfrac{20}{3}=0.

B(6,2) e C(3,4) (ou vice-versa).

Assuntos: Equação da circunferência, Ponto e reta no plano cartesiano.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 6 no caderno Matemática da 2ª fase do IME 2017

Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗