PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017
Sejam os complexos z = a + bi e w = 47 + ci, tais que z^3 + w = 0. Determine o valor de a, b e c, sabendo que esses números são inteiros e positivos.
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Resolução comentada
Se z^3 + w = 0, então z^3 = -w = -47 - ci. Basta desenvolver z^3 e igualar parte real e parte imaginária.
- Desenvolvendo o cubo, com i^2=-1 e i^3=-i:
z^3 = a^3 + 3a^2(bi) + 3a(bi)^2 + (bi)^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i
- Parte real: a^3 - 3ab^2 = -47, ou seja,
a\,(3b^2 - a^2) = 47
- Como 47 é primo e a e b são inteiros positivos, a divide 47, logo a=1 ou a=47.
- Se a = 47: 3b^2 - 2209 = 1, então 3b^2 = 2210. Isso não tem solução inteira, pois 2210 não é múltiplo de 3.
- Se a = 1: 3b^2 - 1 = 47, então b^2 = 16 e b = 4 (positivo).
- Parte imaginária: 3a^2b - b^3 = -c. Com a=1 e b=4:
c = b^3 - 3a^2b = 64 - 12 = 52
- Conferência: (1+4i)^2 = -15+8i e (-15+8i)(1+4i) = -15 - 60i + 8i - 32 = -47 - 52i. Logo z^3 + w = (-47-52i) + (47+52i) = 0.
a = 1, b = 4 e c = 52
Assuntos: Números complexos, Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗