PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017
Classifique o sistema abaixo como determinado, possível indeterminado e impossível de acordo com os valores reais de m.
\begin{cases} (m-2)x+2y-z = m+1 \\ 2x+my+2z = m^2+2 \\ 2mx+2(m+1)y+(m+1)z = m^3+3 \end{cases}
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Resolução comentada
Cálculo do determinante. Como o sistema é 3×3, o determinante D da matriz dos coeficientes diz quando ele é determinado. Aplicando Laplace na primeira linha:
D=\begin{vmatrix} m-2 & 2 & -1\\ 2 & m & 2\\ 2m & 2(m+1) & m+1\end{vmatrix}
- Primeiro termo: (m-2)\,[m(m+1)-4(m+1)]=(m-2)(m+1)(m-4)=m^3-5m^2+2m+8.
- Segundo termo: -2\,[2(m+1)-4m]=4m-4.
- Terceiro termo: -1\cdot[4(m+1)-2m^2]=2m^2-4m-4.
Somando: D=m^3-3m^2+2m=m(m-1)(m-2).
Classificação. Se m\neq 0, m\neq1 e m\neq2, então D\neq0 e o sistema é possível e determinado (SPD).
Para m=0, m=1 e m=2, D=0, e é preciso substituir cada valor no sistema.
m = 0:
\begin{cases}-2x+2y-z=1\\ 2x+2z=2\\ 2y+z=3\end{cases}
Da segunda equação, z=1-x. Da terceira, 2y+1-x=3, ou seja, x=2y-2, e então z=3-2y. Substituindo na primeira: -4y+4+2y-3+2y=1, que é sempre verdadeira. Há infinitas soluções, (2y-2,\;y,\;3-2y) com y real: sistema possível e indeterminado (SPI).
m = 1:
\begin{cases}-x+2y-z=2\\ 2x+y+2z=3\\ 2x+4y+2z=4\end{cases}
Subtraindo a segunda da terceira: 3y=1, logo y=\tfrac13. A segunda equação dá x+z=\tfrac43. Na primeira: -(x+z)+2y=-\tfrac43+\tfrac23=-\tfrac23\neq2. Contradição: sistema impossível (SI).
m = 2:
\begin{cases}2y-z=3\\ 2x+2y+2z=6\\ 4x+6y+3z=11\end{cases}
Da primeira, z=2y-3. Da segunda, x=3-y-z=6-3y. Na terceira: 4(6-3y)+6y+3(2y-3)=24-12y+6y+6y-9=15\neq11. Contradição: sistema impossível (SI).
Conclusão: SPD se m\notin\{0,1,2\}; SPI se m=0; SI se m=1 ou m=2.
Assuntos: Sistemas lineares, Matrizes e determinantes.
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Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗