PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Matemática) da 2ª fase do IME 2017
Resolva o sistema de equações, onde x \in \mathbb{R} e y \in \mathbb{R}.
\begin{cases}
\log_3(\log_{\sqrt{3}} x) - \log_{\sqrt{3}}(\log_3 y) = 1 \\
\left(y\sqrt[3]{x}\right)^2 = 3^{143}
\end{cases}
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Resolução comentada
a) Primeiro, as condições de existência: x>0, \log_3 y>0 (ou seja, y>1) e \log_{\sqrt3}x>0 (ou seja, x>1).
Faça a=\log_3 x e b=\log_3 y, com a>0 e b>0.
Como \sqrt3=3^{1/2}, vale \log_{\sqrt3}t=2\log_3 t. Então:
- \log_{\sqrt3}x=2a;
- \log_{\sqrt3}(\log_3 y)=\log_{\sqrt3}b=2\log_3 b.
Primeira equação:
\log_3(2a)-2\log_3 b=1\;\Rightarrow\;\log_3\frac{2a}{b^2}=1\;\Rightarrow\;2a=3b^2\;\Rightarrow\;a=\frac{3b^2}{2}.
Segunda equação: y^2x^{2/3}=3^{143}. Aplicando \log_3:
2b+\frac23a=143.
Substituindo a=\frac{3b^2}{2}:
2b+b^2=143\;\Rightarrow\;b^2+2b-143=0\;\Rightarrow\;b=\frac{-2\pm24}{2}.
Logo b=11 ou b=-13. A condição b>0 elimina b=-13, então b=11.
Agora:
a=\frac{3\cdot121}{2}=\frac{363}{2}.
Portanto y=3^{11} e x=3^{363/2}.
Verificação:
- Primeira equação: \log_3 363-2\log_3 11=\log_3\frac{363}{121}=\log_3 3=1.
- Segunda equação: y^2=3^{22} e x^{2/3}=3^{121}, cujo produto é 3^{143}.
Solução: x=3^{363/2} e y=3^{11}.
Assunto: Logaritmos e função logarítmica.
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Fonte: IME 2ª fase 2017 · Matemática. Prova oficial ↗