Questão 2 (Química)

a) Diagrama P\times V

Nas etapas isotérmicas, a temperatura permanece constante:

A compressão adiabática II aumenta a temperatura do gás, de modo que T_3>T_1. Na expansão adiabática IV, a temperatura retorna a T_1.

O esboço qualitativo é:

P
↑
│      ● 3
│       ╲ ╲_______    III →
│        ╲        ╲______● 4
│     II ↖                ╲
│          ● 2             ↘ IV
│            ╲______        ╲
│                I ←╲________● 1
│
└───────────────────────────────→ V

As etapas são:

• I — 1\to2: compressão isotérmica à temperatura T_1, com PV=RT_1;
• II — 2\to3: compressão adiabática, com Q_2=0;
• III — 3\to4: expansão isotérmica à temperatura T_3, com PV=RT_3;
• IV — 4\to1: expansão adiabática, com Q_4=0.

b) Trabalho total

Adotando W>0 para o trabalho realizado pelo gás, a primeira lei da Termodinâmica é

Como as etapas II e IV são adiabáticas:

A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura. Portanto,

Assim,

Somando os trabalhos das quatro etapas:

Resposta final: a) 1\xrightarrow{\text{isotérmica}}2\xrightarrow{\text{adiabática}}3\xrightarrow{\text{isotérmica}}4\xrightarrow{\text{adiabática}}1, conforme o esboço; b) W_{\mathrm{tot}}=W_1+W_3, pois W_2+W_4=0.

a) Gráfico P\times V

Na etapa I, a temperatura permanece em T_1. Na compressão adiabática da etapa II, o trabalho recebido aumenta a energia interna do gás, de modo que T_3>T_1. Assim, a isoterma da etapa III fica acima da isoterma da etapa I.

Um esboço qualitativo é:

P
↑
│       ● 3
│        ╲ ╲________
│   II ↑  ╲         ╲________ ● 4
│          ╲      III →         ╲
│           ● 2                 ╲  IV ↓
│             ╲_______           ╲
│                  I ← ╲__________● 1
│
└────────────────────────────────────→ V

As etapas são:

• I — 1\to2: compressão isotérmica, PV=RT_1;
• II — 2\to3: compressão adiabática, Q_2=0;
• III — 3\to4: expansão isotérmica, PV=RT_3;
• IV — 4\to1: expansão adiabática, Q_4=0.

O ciclo é percorrido no sentido horário. As ligações adiabáticas no desenho são esquemáticas, pois a rapidez das etapas não garante reversibilidade.

b) Trabalho total

Adotando W>0 para o trabalho realizado pelo gás, a primeira lei é

Como a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, nas etapas isotérmicas:

Nas duas etapas adiabáticas, Q=0. Portanto,

e

Somando e utilizando as igualdades anteriores:

Logo,

Resposta final: a) Ciclo horário, com duas isotermas (T_3>T_1) ligadas por duas adiabáticas, conforme o esboço; b) W_{\mathrm{tot}}=W_1+W_3, pois W_2+W_4=0.

a) As etapas I e III são isotérmicas. Na compressão adiabática II, a temperatura aumenta; portanto, a isoterma da etapa III está acima da isoterma da etapa I.

Um esboço possível é:

P
↑
│   ● 3
│    ⋱  ╲_____→ ● 4       III: T₃
│     ⋱           ⋱
│      ● 2          ⋱
│        ╲_____←_____● 1   I: T₁
└────────────────────────→ V
       II            IV

As linhas pontilhadas indicam as ligações entre os estados nas etapas adiabáticas rápidas, II e IV. Como essas etapas não são necessariamente quase estáticas, suas trajetórias detalhadas no plano P\times V não são determinadas pelo enunciado.

b) Adotando W como o trabalho realizado pelo gás, a primeira lei é

Nas etapas II e IV, Q=0. Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. Como T_2=T_1 e T_4=T_3, resulta:

Logo, W_2+W_4=0 e

Para as etapas isotérmicas quase estáticas, pode-se ainda escrever

Resposta final: a) ciclo com isotermas 1\to2 e 3\to4, ligadas pelas etapas adiabáticas 2\to3 e 4\to1; b) W_{\text{tot}}=W_1+W_3.

a) Diagrama P\times V

Como a etapa I é isotérmica, T_2=T_1; como a etapa III é isotérmica, T_4=T_3. A compressão adiabática eleva a temperatura, portanto T_3>T_1. Assim, a isoterma T_3 fica acima da isoterma T_1.

Um esboço esquemático possível é:

       P
       ↑
       │       ● 3 ───────── ● 4     isoterma T₃
       │        ╲             ╲
       │         ╲             ╲
       │          ● 2           ╲
       │            ╲            ╲
       │             ─────────── ● 1   isoterma T₁
       └────────────────────────────→ V

O sentido do ciclo é 1\to2\to3\to4\to1: compressão isotérmica, compressão adiabática, expansão isotérmica e expansão adiabática, respectivamente. O desenho é ilustrativo; a posição relativa de 2 e 4 não é determinada pelos dados.

b) Trabalho total

Adotando W>0 para o trabalho realizado pelo gás, a primeira lei é

Nas etapas II e IV, Q_2=Q_4=0. Para um mol de gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura; logo,

Como as etapas são adiabáticas, W_2=-\Delta U_2 e W_4=-\Delta U_4. Portanto,

Somando os trabalhos das quatro etapas,

Resposta final: a) ciclo 1\to2\to3\to4\to1, com etapas isotérmicas 1\to2 e 3\to4, e adiabáticas 2\to3 e 4\to1; b) W_{\mathrm{tot}}=W_1+W_3.

Interpretação do processo

O gás parte de (P₁, V₁, T₁) e, como as etapas II e IV são adiabáticas (Q = 0) e as etapas I e III são isotérmicas, trata‑se de um ciclo de Carnot percorrido no sentido anti‑horário (ciclo de refrigeração):

• Etapa I: compressão isotérmica a T₁ → V₂ < V₁, P₂ > P₁ (o gás cede calor Q₁ à fonte fria).
• Etapa II: compressão adiabática → o gás aquece: T₃ > T₁, V₃ < V₂, P₃ > P₂.
• Etapa III: expansão isotérmica a T₃ → V₄ > V₃, P₄ < P₃ (o gás recebe calor Q₃ da fonte quente).
• Etapa IV: expansão adiabática → volta a (P₁, V₁, T₁), com V₁ > V₄, T cai de T₃ para T₁.

a) Gráfico P × V

P
|   3
|   *\              ← isoterma T3 (PV = RT3), mais alta
|    \ \  III
|     \  *4
|  II  \   \
|       *2   \  IV      ← curvas adiabáticas (PV^γ = cte), mais
|         \    \           inclinadas que as isotermas
|      I   \     \
|            `--*1     ← isoterma T1 (PV = RT1), mais baixa
|_____________________________ V

• Pontos 1 e 2 sobre a hipérbole PV = RT₁ (isoterma inferior); pontos 3 e 4 sobre a hipérbole PV = RT₃ (isoterma superior).
• Trechos 1→2 (Etapa I) e 3→4 (Etapa III): isotermas (hipérboles, menos inclinadas).
• Trechos 2→3 (Etapa II) e 4→1 (Etapa IV): adiabáticas (PV^γ = cte, mais inclinadas que as isotermas).
• O ciclo 1→2→3→4→1 é percorrido no sentido anti‑horário, com V₃ < V₂ < V₁ e V₃ < V₄ < V₁ (e V₁/V₂ = V₄/V₃).

b) Trabalho total

Adotando W como o trabalho realizado pelo gás, W = ∫P dV, a 1ª Lei dá ΔU = Q − W. Para um gás ideal, ΔU = n C_v ΔT (depende só da temperatura).

• Etapa I (isotérmica, ΔT = 0 ⇒ ΔU = 0): W₁ = Q₁ = RT₁ ln(V₂/V₁) (< 0, compressão).
• Etapa III (isotérmica): W₃ = Q₃ = RT₃ ln(V₄/V₃) (> 0, expansão).
• Etapa II (adiabática, Q = 0): W₂ = −ΔU₂ = −C_v (T₃ − T₁).
• Etapa IV (adiabática, Q = 0): W₄ = −ΔU₄ = −C_v (T₁ − T₃) = +C_v (T₃ − T₁).

Logo

W₂ + W₄ = −C_v(T₃ − T₁) + C_v(T₃ − T₁) = 0,

pois as duas adiabáticas ligam as mesmas isotermas (T₁ e T₃): a variação de energia interna numa é o oposto da outra e, sem troca de calor, o trabalho em cada uma é igual a −ΔU.

Portanto

W_tot = W₁ + W₂ + W₃ + W₄ = W₁ + W₃ = RT₁ ln(V₂/V₁) + RT₃ ln(V₄/V₃).

(Equivalentemente: no ciclo ΔU = 0, então W_tot = Q_tot = Q₁ + Q₃ = W₁ + W₃, já que as adiabáticas não trocam calor.) Como V₁/V₂ = V₄/V₃, resulta W_tot = R(T₃ − T₁) ln(V₄/V₃) > 0 em módulo igual ao trabalho líquido que deve ser fornecido ao sistema no ciclo frigorífico (W_tot calculado "pelo gás" é negativo quando V₂/V₁ < 1 pesa com T₁… o sinal depende da convenção; o essencial é a demonstração W₂ + W₄ = 0).

Resposta final: a) ciclo de Carnot anti‑horário no diagrama P×V: isotermas T₁ (1→2, compressão) e T₃ (3→4, expansão) ligadas por adiabáticas (2→3 compressão, 4→1 expansão), com V₃<V₂<V₁ e V₃<V₄<V₁; b) nas adiabáticas Q=0 ⇒ W₂ = −C_v(T₃−T₁) e W₄ = +C_v(T₃−T₁), logo W₂+W₄ = 0 e W_tot = W₁ + W₃ = RT₁ln(V₂/V₁) + RT₃ln(V₄/V₃).

Leitura do ciclo. As etapas I e III são isotérmicas e reversíveis, já que são lentas. As etapas II e IV são adiabáticas, porque são tão rápidas que não há troca de calor (Q = 0).

Na etapa II o gás é comprimido sem trocar calor, logo esquenta: T₃ > T₁. A etapa III ocorre então na isoterma T₃ (quente). A etapa IV é uma expansão adiabática que esfria o gás de T₃ até T₁. Trata-se de um ciclo de Carnot.

a) Esboço do gráfico P × V

O gráfico tem duas isotermas (hipérboles, PV = cte) e dois trechos adiabáticos, mais inclinados (PV^γ = cte).

• 1 → 2 (Etapa I): compressão isotérmica sobre a isoterma inferior T₁. O ponto se desloca para a esquerda: V₂ < V₁ e P₂ > P₁.
• 2 → 3 (Etapa II): compressão adiabática, curva mais íngreme que a isoterma. O ponto sobe até a isoterma superior T₃: V₃ < V₂ e P₃ > P₂.
• 3 → 4 (Etapa III): expansão isotérmica sobre a isoterma superior T₃. O ponto se desloca para a direita: V₄ > V₃.
• 4 → 1 (Etapa IV): expansão adiabática, que desce de T₃ até o ponto 1 na isoterma T₁.

P
|   3
|   |\        (isoterma T3)
|   | \ _
|   \     ‾‾--4
|  2 \          \   (adiabática 4→1)
|   \  ‾‾--__     \
|    (isot. T1)‾‾--1
|_________________________ V

Ordem dos volumes: V₃ < V₂ e V₄ < V₁. Das adiabáticas vem V₄/V₃ = V₁/V₂. O ciclo é percorrido no sentido horário e a área interna corresponde ao trabalho líquido.

b) Trabalho total

Pela 1ª Lei, ΔU = Q − W, com W sendo o trabalho realizado pelo gás. Para gás ideal, U depende só de T.

• Etapa I (isotérmica): ΔU₁ = 0, então W₁ = Q₁ = RT₁ ln(V₂/V₁). Esse valor é negativo, pois é compressão.
• Etapa III (isotérmica): ΔU₃ = 0, então W₃ = Q₃ = RT₃ ln(V₄/V₃). Esse valor é positivo, pois é expansão.
• Etapa II (adiabática, Q = 0): W₂ = −ΔU₂ = −C_v(T₃ − T₁).
• Etapa IV (adiabática, Q = 0): W₄ = −ΔU₄ = −C_v(T₁ − T₃) = +C_v(T₃ − T₁).

Como as duas adiabáticas operam entre as mesmas temperaturas T₁ e T₃, em sentidos opostos:

W₂ + W₄ = −C_v(T₃ − T₁) + C_v(T₃ − T₁) = 0

Portanto:

W_tot = W₁ + W₂ + W₃ + W₄ = W₁ + W₃

Usando V₄/V₃ = V₁/V₂, obtém-se W_tot = R(T₃ − T₁) ln(V₁/V₂) > 0.

Resposta final: a) Ciclo de Carnot no diagrama P×V: 1→2 compressão isotérmica a T₁, 2→3 compressão adiabática até T₃ > T₁, 3→4 expansão isotérmica a T₃, 4→1 expansão adiabática de volta a T₁, percorrido no sentido horário; b) W₂ = −C_v(T₃−T₁) e W₄ = +C_v(T₃−T₁) se anulam, logo W_tot = W₁ + W₃ = R(T₃−T₁)ln(V₁/V₂).

Os estados são:

• 1 → 2: compressão isotérmica lenta a T₁, logo T₂ = T₁.
• 2 → 3: compressão adiabática rápida. O gás se aquece, então T₃ > T₁.
• 3 → 4: expansão isotérmica lenta a T₃, logo T₄ = T₃.
• 4 → 1: expansão adiabática rápida. O gás se resfria de T₃ até T₁, voltando ao estado inicial.

Esboço qualitativo, com V no eixo horizontal e P no vertical:

P
|        3 ●━━━━━━━╲  (isoterma T₃, etapa III)
|        ┃          ╲
|        ┃ (II)      ╲●4
|        ┃             ┃
|     2 ●╲             ┃ (IV)
|         ╲ (I)        ┃
|          ╲___________●1
|             (isoterma T₁)
+------------------------------ V
         V₃  V₂      V₄   V₁

• Etapa I (1→2): curva hiperbólica P = RT₁/V, a isoterma inferior. O volume diminui e a pressão aumenta.
• Etapa II (2→3): curva adiabática, mais inclinada que as isotermas. O volume diminui e a pressão sobe até a isoterma superior (T₃).
• Etapa III (3→4): curva hiperbólica P = RT₃/V, a isoterma superior. O volume aumenta e a pressão diminui.
• Etapa IV (4→1): curva adiabática. O volume aumenta e a pressão diminui até o ponto inicial.

O ciclo é percorrido no sentido horário. As etapas II e IV são rápidas e, a rigor, não são quase-estáticas, então seus trajetos seriam desenhados tracejados. Apenas os estados extremos estão bem definidos.

O trabalho total é W_tot = W₁ + W₂ + W₃ + W₄.

Nas etapas II e IV não há troca de calor, Q = 0. Pela 1ª lei, ΔU = Q − W, então W = −ΔU. Essa relação vale mesmo para processos rápidos e irreversíveis, pois depende só de Q = 0.

Para um gás ideal, U depende apenas de T, e ΔU = C_V ΔT, com C_V constante:

• Etapa II: W₂ = −ΔU₂ = −nC_V(T₃ − T₁).
• Etapa IV: W₄ = −ΔU₄ = −nC_V(T₁ − T₃) = +nC_V(T₃ − T₁).

Portanto W₂ + W₄ = 0.

Assim:

W_tot = W₁ + W₃ + (W₂ + W₄) = W₁ + W₃

Se as etapas isotérmicas forem reversíveis (lentas), W₁ = RT₁ ln(V₂/V₁) < 0 e W₃ = RT₃ ln(V₄/V₃) > 0. O trabalho líquido é então W_tot = R[T₃ ln(V₄/V₃) − T₁ ln(V₁/V₂)].

Resposta final: a) ciclo horário com 1→2 isoterma T₁ (compressão), 2→3 adiabática (compressão, sobe até a isoterma T₃), 3→4 isoterma T₃ (expansão), 4→1 adiabática (expansão); b) W₂ = −nC_V(T₃−T₁) e W₄ = +nC_V(T₃−T₁), logo W₂ + W₄ = 0 e W_tot = W₁ + W₃.

A primeira lei será usada na convenção \Delta U=Q+W (trabalho realizado sobre o sistema). Como n=1, vale PV=RT.

a) No diagrama P\times V, o ciclo é percorrido na ordem 1\to2\to3\to4\to1:

• Etapa I (compressão lenta e isotérmica): arco de hipérbole da isoterma T_1, do ponto (V_1,P_1) ao ponto (V_2,P_2), com V_2<V_1 e P_2>P_1.
• Etapa II (compressão muito rápida, portanto adiabática e irreversível): os estados intermediários não são de equilíbrio, de modo que se ligam simplesmente os pontos 2 e 3, com V_3<V_2. O trabalho realizado sobre o gás é positivo, logo T_3>T_1 e o ponto 3 situa-se na isoterma mais alta.
• Etapa III (expansão lenta e isotérmica): arco de hipérbole da isoterma T_3, do ponto (V_3,P_3) ao ponto (V_4,P_4), com V_4>V_3 e P_4<P_3.
• Etapa IV (expansão muito rápida, adiabática e irreversível): ligação direta do ponto 4 de volta ao ponto 1, com V_1>V_4, a temperatura caindo de T_3 para T_1.

(As desigualdades de volume decorrem diretamente das compressões e expansões enunciadas; a isoterma T_3 fica acima da isoterma T_1.)

b) Nas etapas II e IV não há troca de calor:

Para gás ideal, U depende apenas de T. A etapa I é isotérmica, portanto T_2=T_1 e U_2=U_1. A etapa III é isotérmica, portanto T_4=T_3 e U_4=U_3. Substituindo,

donde W_2+W_4=0. Consequentemente

Resposta final: a) isotermas T_1 (I) e T_3>T_1 (III) + ligações irreversíveis II e IV; b) W_{\rm tot}=W_1+W_3

a) Esboço do gráfico P \times V:

• Eixos: P na ordenada e V na abscissa.
• Estados:
  1=(V_1,P_1,T_1); 2=(V_2,P_2,T_1); 3=(V_3,P_3,T_3); 4=(V_4,P_4,T_3).
• Etapa I: compressão isotérmica lenta 1 \to 2, com V_2<V_1, P_2>P_1, T_2=T_1. Curva PV=\text{cte}.
• Etapa II: compressão adiabática rápida 2 \to 3, com V_3<V_2, P_3>P_2, T_3>T_1. Curva adiabática, mais inclinada que a isoterma.
• Etapa III: expansão isotérmica lenta 3 \to 4, com V_4>V_3, P_4<P_3, T_4=T_3. Curva PV=\text{cte}.
• Etapa IV: expansão adiabática rápida 4 \to 1, com V_1>V_4, P_1<P_4, retornando a T_1. Curva adiabática.

O ciclo é percorrido no sentido 1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 1. As etapas II e IV são adiabáticas (Q=0); as etapas I e III são isotérmicas.

b) Pela Primeira Lei da Termodinâmica, para 1 mol de gás ideal:

onde W é o trabalho realizado pelo gás. Para gás ideal, \Delta U=C_V\Delta T.

• Etapa II: adiabática, Q_2=0. Como T_2=T_1 e T_3 é a temperatura final:

• Etapa IV: adiabática, Q_4=0. Como T_4=T_3 e T_1 é a temperatura final:

Portanto:

Assim, o trabalho total no ciclo é:

Como se queria demonstrar.

Resposta final: a) gráfico P\times V com 1\to2 isoterma de compressão, 2\to3 adiabática de compressão, 3\to4 isoterma de expansão e 4\to1 adiabática de expansão; b) W_{\text{tot}}=W_1+W_3.

Item a)

Análise das Etapas do Ciclo:

1. Etapa I (1 \to 2): Compressão isotérmica lenta à temperatura T_1

   • O gás vai de (P_1, V_1, T_1) até (P_2, V_2, T_1), com V_2 < V_1 e P_2 > P_1.
   • A trajetória segue a isoterma de menor temperatura (T_1).

2. Etapa II (2 \to 3): Compressão adiabática muito rápida

   • Por ser muito rápida, não há troca de calor (Q_2 = 0).
   • A compressão realiza trabalho sobre o gás, elevando sua temperatura de T_1 até T_3 (T_3 > T_1), com V_3 < V_2 e P_3 > P_2.
   • A curva adiabática possui inclinação mais acentuada que a isoterma \left(\left|\frac{dP}{dV}\right|_{\text{adiab}} = \gamma \frac{P}{V} > \left|\frac{dP}{dV}\right|_{\text{isot}} = \frac{P}{V}\right).

3. Etapa III (3 \to 4): Expansão isotérmica lenta à temperatura T_3

   • O gás se expande de (P_3, V_3, T_3) até (P_4, V_4, T_3), com V_4 > V_3 e P_4 < P_3.
   • A trajetória segue a isoterma de maior temperatura (T_3).

4. Etapa IV (4 \to 1): Expansão adiabática muito rápida de volta ao estado inicial

   • Não há troca de calor (Q_4 = 0).
   • O gás se expande realizando trabalho, de modo que sua temperatura diminui de T_3 até T_1, retornando ao ponto inicial (P_1, V_1, T_1).
   • O ciclo é percorrido no sentido anti-horário (ciclo de Carnot reverso / ciclo de refrigeração).

Esboço do Gráfico P \times V:

    P ^
      |
  P3  |            3 (P3, V3, T3)
      |           / \
      |   Etapa  /   \  Etapa III (Isotérmica, T3)
      |    II   /     \
  P4  |  (Ad.) /       \  4 (P4, V4, T3)
      |       /         \
  P2  |      2           \   Etapa IV (Adiabática)
      |       \           \
      | Etapa  \           \
      |   I     \           \
  P1  |  (Isot.) \___________1 (P1, V1, T1)
      |
      +-------+-----+---+-----+------------>
      0      V3    V2  V4    V1            V

• Identificação das etapas e sentidos:
  • Etapa I (1 \to 2): Compressão isotérmica à temperatura T_1 (seta de 1 para 2).
  • Etapa II (2 \to 3): Compressão adiabática (Q = 0) de T_1 para T_3 (seta de 2 para 3).
  • Etapa III (3 \to 4): Expansão isotérmica à temperatura T_3 (seta de 3 para 4).
  • Etapa IV (4 \to 1): Expansão adiabática (Q = 0) de T_3 para T_1 (seta de 4 para 1).

Item b)

Pela Primeira Lei da Termodinâmica:

Para um gás ideal, a energia interna depende exclusivamente da temperatura:

O enunciado afirma que as etapas II e IV são muito rápidas, não havendo tempo para a troca de calor com a vizinhança. Portanto, ambas são processos adiabáticos:

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica para as etapas II e IV:

• Para a Etapa II (2 \to 3):
  

  \Delta U_2 = Q_2 - W_2 = -W_2
  
  
  W_2 = -\Delta U_2 = -C_v (T_3 - T_1)

• Para a Etapa IV (4 \to 1):
  

  \Delta U_4 = Q_4 - W_4 = -W_4
  
  
  W_4 = -\Delta U_4 = -C_v (T_1 - T_3) = C_v (T_3 - T_1)

Somando o trabalho das etapas II e IV:

O trabalho total realizado no ciclo completo é a soma algébrica dos trabalhos de todas as quatro etapas:

Substituindo W_2 + W_4 = 0:

Resposta final:
a) O gráfico P \times V corresponde a um ciclo de Carnot percorrido em sentido anti-horário entre as isotermas T_1 e T_3 (T_3 > T_1), com as etapas: I (compressão isotérmica a T_1, 1 \to 2), II (compressão adiabática, 2 \to 3), III (expansão isotérmica a T_3, 3 \to 4) e IV (expansão adiabática, 4 \to 1).
b) Como as etapas II e IV são adiabáticas (Q = 0), W_2 = -C_v(T_3 - T_1) e W_4 = -C_v(T_1 - T_3) = C_v(T_3 - T_1), de modo que W_2 + W_4 = 0, resultando em W_{\text{tot}} = W_1 + W_3.

a) Esboço do gráfico P \times V:

Para construir o diagrama de Clapeyron (P \times V), analisamos o comportamento das variáveis de estado em cada uma das quatro etapas para 1 mol de gás ideal (PV = RT):

1. Etapa I (1 \to 2, compressão isotérmica a T_1): Como a temperatura T_1 é constante e ocorre uma compressão, o volume diminui (V_2 < V_1) e a pressão aumenta (P_2 > P_1) seguindo uma hipérbole equilátera (P \cdot V = RT_1 = \text{constante}).
2. Etapa II (2 \to 3, compressão adiabática de T_1 a T_3): Por ser muito rápida, não há troca de calor (Q_2 = 0). Na compressão adiabática, o volume continua diminuindo (V_3 < V_2), a pressão aumenta de forma mais acentuada do que na isoterma (P_3 > P_2) e a temperatura do gás se eleva (T_3 > T_1).
3. Etapa III (3 \to 4, expansão isotérmica a T_3): Mantendo a temperatura T_3 constante, o gás se expande (V_4 > V_3) e a pressão diminui (P_4 < P_3) ao longo de uma isoterma superior à da Etapa I (pois T_3 > T_1).
4. Etapa IV (4 \to 1, expansão adiabática de T_3 a T_1): Novamente sem troca de calor (Q_4 = 0), o gás se expande (V_1 > V_4) com queda acentuada de pressão (P_1 < P_4) e resfriamento de T_3 de volta a T_1, fechando o ciclo no sentido horário.

Representação esquemática do diagrama P \times V:

    P ^
      |
  P3 -|       (3)
      |        |\ 
      |        |  \   Etapa III (Isotérmica, T3)
      |        |    \
  P4 -|   Etapa|      (4)
      |    II  |        \
  P2 -|       (2)         \  Etapa IV
      |          \          \ (Adiabática)
      |   Etapa I  \          \
  P1 -| (Isot., T1)  `--(1)----`
      |
      +--------+--+------+-----+----> V
              V3 V2     V4    V1

b) Demonstração para o trabalho total (W_{\text{tot}}):

O trabalho total realizado no ciclo é dado pela soma algébrica dos trabalhos de cada uma das quatro etapas:

Pela Primeira Lei da Termodinâmica, a variação da energia interna (\Delta U) em uma etapa qualquer é dada por (adotando a convenção \Delta U = Q + W):

Como a energia interna U é uma função de estado, a variação total de energia interna ao final de um ciclo fechado é nula:

Para um gás ideal, a energia interna depende exclusivamente da temperatura (U = U(T)). Analisando as etapas isotérmicas (I e III):

• Etapa I: T_2 = T_1 \implies \Delta U_1 = 0
• Etapa III: T_4 = T_3 \implies \Delta U_3 = 0

Substituindo na equação do ciclo:

Analisando agora as etapas rápidas (II e IV), o enunciado informa que não há troca de calor entre o sistema e o ambiente (processos adiabáticos), logo:

• Etapa II: Q_2 = 0 \implies \Delta U_2 = W_2
• Etapa IV: Q_4 = 0 \implies \Delta U_4 = W_4

(Nota: Caso se adote a convenção \Delta U = Q - W, tem-se \Delta U_2 = -W_2 e \Delta U_4 = -W_4, o que conduz ao mesmo resultado).

Substituindo as relações das etapas adiabáticas na soma das variações de energia interna:

Por fim, substituindo W_2 + W_4 = 0 na expressão do trabalho total do ciclo:

Resposta final: a) Ciclo fechado no diagrama P x V percorrido no sentido horário, limitado por duas curvas isotermas (etapas I em T1 e III em T3, com T3 > T1) e duas curvas adiabáticas mais inclinadas (etapas II e IV), com V3 < V2 e V3 < V4 < V1; b) Demonstração concluída a partir de ΔU_ciclo = 0, ΔU_1 = ΔU_3 = 0 (isotérmicas de gás ideal) e Q_2 = Q_4 = 0 (adiabáticas), resultando em W_2 + W_4 = 0 e W_tot = W_1 + W_3.