Seja Q um quadrado de lado medindo 21 cm. a) Considere que Q foi subdividido em 9 quadrados Q1,,Q9 , cujos lados medem 7 cm. Quantos triângulos distintos podem ser formados de modo que seus vértices sejam os centros dos quadrados Q1,,Q9 dessa subdivisão? Lembre-se de que dois triângulos são distintos quando seus vértices não coincidem. b) É possível escolhermos 10 pontos em Q de modo que a distância entre quaisquer dois desses pontos seja maior do que 10 centímetros? Justifique.

Questão 8 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2025

2º dia · Matemática

Seja Q um quadrado de lado medindo 21 cm.

a) Considere que Q foi subdividido em 9 quadrados Q_1, \dots, Q_9, cujos lados medem 7 cm. Quantos triângulos distintos podem ser formados de modo que seus vértices sejam os centros dos quadrados Q_1, \dots, Q_9 dessa subdivisão? Lembre-se de que dois triângulos são distintos quando seus vértices não coincidem.

b) É possível escolhermos 10 pontos em Q de modo que a distância entre quaisquer dois desses pontos seja maior do que 10 centímetros? Justifique.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A quantidade de combinações de 3 vértices quaisquer a partir dos 9 centros de quadrados é dada por 9!/(3!\text{ }6!) = 84. Porém, nem toda combinação de 3 vértices produz um triângulo: vértices colineares devem ser retirados da conta. Como existem 8 conjuntos de vértices colineares (3 verticais, 3 horizontais e as duas diagonais), a resposta é 84 - 8 = 76.

b) Considere a divisão de Q em 9 subquadrados. Pelo princípio da casa dos pombos, para colocarmos 10 pontos em Q, pelo menos um dos subquadrados precisa receber 2 pontos.

Como a diagonal dos subquadrados mede 7\sqrt{2} < 10, temos que o décimo ponto necessariamente estará a uma distância menor do que 10 de pelo menos um dos pontos, logo não é possível colocar 10 pontos em Q.

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Questão 8 no caderno CE da 2ª fase da UNICAMP 2025