Questão 30 (2º semestre) da UFG 2009

Question

A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem \overline{AB} = 10, \overline{DC} = 6, \overline{AD} = 4 e \overline{AE} = 10.

Prisma reto com base inferior trapezoidal ABCD (com AB na frente e DC atrás, em linhas tracejadas) e base superior trapezoidal EFGH (com EF na frente e HG atrás). As arestas verticais são AE, BF, CG e DH, sendo CG e DH representadas por linhas tracejadas.

O plano determinado pelos pontos A, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. A área desse quadrilátero é:

A
8\sqrt{7}
B
10\sqrt{7}
C
16\sqrt{7}
D
32\sqrt{7}
E
64\sqrt{7}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 (2º semestre) da UFG 2009

2º semestre · Matemática: Vistas, projeções e planificações

A figura abaixo representa um prisma reto, cuja base ABCD é um trapézio isósceles, sendo que as suas arestas medem \overline{AB} = 10, \overline{DC} = 6, \overline{AD} = 4 e \overline{AE} = 10.

Prisma reto com base inferior trapezoidal ABCD (com AB na frente e DC atrás, em linhas tracejadas) e base superior trapezoidal EFGH (com EF na frente e HG atrás). As arestas verticais são AE, BF, CG e DH, sendo CG e DH representadas por linhas tracejadas.

O plano determinado pelos pontos A, H e G secciona o prisma determinando um quadrilátero. A área desse quadrilátero é:

A
8\sqrt{7}
B
10\sqrt{7}
C
16\sqrt{7}
D
32\sqrt{7}
E
64\sqrt{7}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os pontos H e G estão na base superior, e HG é paralelo a EF, logo paralelo a AB. O plano AHG contém então a reta HG e o ponto A. Ele corta a face inferior ABCD em uma reta por A paralela a DC, que é o próprio AB. Portanto o plano contém A, B, G e H, e a seção é o quadrilátero ABGH, um trapézio de bases AB = 10 e HG = 6.

Como o trapézio da base é isósceles, as laterais AD e BC têm 4. A projeção de cada lateral sobre AB vale:

\frac{10-6}{2}=2

A altura do trapézio da base é então:

h=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}

Agora, o trapézio ABGH é isósceles, com lados não paralelos AH e BG. Para achar sua altura, tome D', projeção de H no plano da base, que é o ponto D. O pé da altura de H até a reta AB fica a 2 de A ao longo de AB, com distância 2\sqrt{3} até AB no plano da base.

A distância de H a AB é a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos:

altura do prisma: HD = 10;
distância de D à reta AB: 2\sqrt{3}.

d=\sqrt{10^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{100+12}=\sqrt{112}=4\sqrt{7}

Área do trapézio:

A=\frac{(10+6)\cdot 4\sqrt{7}}{2}=32\sqrt{7}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

Aerro de conta, usando metade da altura e das bases; não corresponde à área do trapézio ABGH.
Busa valores soltos do enunciado, sem calcular a altura inclinada 4\sqrt{7}.
Ccalcula só metade da área correta, por exemplo esquecendo de somar as duas bases ao multiplicar pela altura.
Edobra o resultado correto, esquecendo de dividir por 2 na fórmula do trapézio.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Áreas e perímetros de polígonos, Prismas e paralelepípedos.

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Questão 30 no caderno 1ª etapa da UFG 2009

Fonte: UFG 2009 · 2º semestre · 1ª etapa. Prova oficial ↗