PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 16 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014
Candidatos inscritos ao vestibular da UFG/2014-1 leram o livro O cortiço, com 182 páginas, de uma determinada edição, iniciando-se na página 1.
Considere que dois desses candidatos leram o livro do seguinte modo: o primeiro leu duas páginas no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, leu mais duas páginas do que no dia anterior, enquanto o segundo leu uma página no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes, leu o dobro do número de páginas do dia anterior.
Admitindo-se que os dois candidatos começaram a ler o livro no mesmo dia e que o primeiro acabou a leitura no dia 26 de outubro, determine em qual dia o segundo candidato acabou de ler o livro.
| Dado: \log_2 183 = 7{,}6 |
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(5,0 pontos)
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Comece pelo primeiro candidato, para descobrir o dia em que os dois começaram.
As páginas lidas por dia formam uma PA: 2, 4, 6, \dots, com primeiro termo e razão iguais a 2. Em n dias ele leu
Como o livro tem 182 páginas, n(n+1) = 182, ou seja, n^2 + n - 182 = 0. Então n = 13, porque 13\cdot 14 = 182, e a outra raiz é negativa.
O primeiro candidato terminou no 13º dia de leitura, que foi 26 de outubro. Logo, o 1º dia foi 14 de outubro, pois 26 - 12 = 14.
Agora o segundo candidato. As páginas lidas por dia formam uma PG: 1, 2, 4, \dots, com razão 2. Em n dias ele leu
Ele termina quando 2^n - 1 \ge 182, isto é, 2^n \ge 183. Aplicando \log_2:
Como n é inteiro, n = 8.
Conferência: em 7 dias ele leu 2^7 - 1 = 127 páginas, que não bastam. No 8º dia leria 128 páginas, e as 55 que faltam (182 - 127) cabem nesse dia.
O 8º dia a partir de 14 de outubro é 14 + 7 = 21.
O segundo candidato terminou a leitura no dia 21 de outubro.
Assuntos: Progressão geométrica, Logaritmos e função logarítmica, Progressão aritmética.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗