PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 15 (1º semestre · 1º dia · Grupo 2) da 2ª etapa da UFG 2014
Na figura a seguir, as circunferências C_1, C_2, C_3 e C_4, de centros O_1, O_2, O_3 e O_4, respectivamente, e mesmo raio r, são tangentes entre si e todas são tangentes à circunferência C de centro O e raio R.
Considerando o exposto, calcule em função de R, a área do losango cujos vértices são os centros O_1, O_2, O_3 e O_4. (5,0 pontos)
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a) Os quatro círculos de raio r são tangentes entre si, então centros vizinhos ficam a distância 2r. O quadrilátero O_1O_2O_3O_4 tem os 4 lados iguais a 2r e, pela simetria da figura, é um quadrado (losango com diagonais iguais).
Cada círculo menor é tangente interno a C. Logo, o centro O_i fica a distância R-r de O:
O ponto O é o centro do quadrado, então OO_1 é metade da diagonal. A diagonal mede 2(R-r).
No quadrado de lado 2r, a diagonal vale 2r\sqrt{2}. Assim:
- 2(R-r)=2r\sqrt{2}
- R-r=r\sqrt{2}
- R=r(1+\sqrt{2})
- r=\dfrac{R}{1+\sqrt{2}}=R(\sqrt{2}-1)
A área do quadrado (losango) é lado ao quadrado:
Conferindo pela diagonal: A=\dfrac{d^2}{2} com d=2r\sqrt2, então A=\dfrac{8r^2}{2}=4r^2, o mesmo valor.
Numericamente, A\approx 0{,}686\,R^2.
A=4(3-2\sqrt{2})R^2=(12-8\sqrt{2})R^2
Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.
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Fonte: UFG 2ª etapa 2014 · 1º semestre · 1º dia · Grupo 2. Prova oficial ↗