Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2025

Question

A figura mostra duas circunferências concêntricas. O segmento AB é tangente à circunferência interior e tem comprimento 2. Qual é a área da região cinza?

Duas circunferências concêntricas formando uma coroa circular pintada de cinza. Na parte inferior, um segmento de reta horizontal com extremidades nos pontos A e B pertencentes à circunferência externa é tangente à circunferência interna.

A
\pi
B
2\pi
C
\pi/2
D
3\pi
E
\pi/3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

A figura mostra duas circunferências concêntricas. O segmento AB é tangente à circunferência interior e tem comprimento 2. Qual é a área da região cinza?

Duas circunferências concêntricas formando uma coroa circular pintada de cinza. Na parte inferior, um segmento de reta horizontal com extremidades nos pontos A e B pertencentes à circunferência externa é tangente à circunferência interna.

A
\pi
B
2\pi
C
\pi/2
D
3\pi
E
\pi/3

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Se OT = r e OA = R, a área que querermos é \pi\ (R^2 - r^2). Basta aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo ATO: R^2 = r^2 + (AT/2)^2 = r^2 + 1, ou seja, R^2 = r^2 + 1. A área, portanto, é \pi.

[Figura: Duas circunferências concêntricas de centro O, definindo uma coroa circular sombreada de cinza. Uma corda da circunferência externa tangencia a circunferência interna no ponto T, com extremidade esquerda A. O segmento OA está rotulado com raio R e o segmento OT com raio r.]

Outra solução: Vamos indicar os comprimentos dos raios das circunferências concêntricas por X e x, e, por O, o centro comum às duas circunferências. O triângulo OAB é isósceles, pois AO = OB = X; sendo T o ponto de tangência e sabendo que o raio OT é perpendicular a AB, consequentemente, temos que OT será a mediatriz do triângulo isósceles OAB, e a medida do segmento AT é 1\text{ cm}.

[Figura: Duas circunferências concêntricas de centro O, delimitando a coroa circular sombreada. A corda AB tangencia a circunferência interna no ponto T. O diâmetro AC da circunferência externa passa por O e intersecta a circunferência interna nos pontos P e Q. Os raios OA, OB e o segmento OT estão representados.]

Consideremos o diâmetro AC da circunferência externa; esse segmento contém o diâmetro PQ da circunferência interna.

Como AT é um segmento tangente à circunferência interna, temos que: AT^2 = AQ \cdot AP (potência de ponto); sabemos que AT = 1, AP = (X - x) e AQ = 2X - (X - x) = (X + x).

Daí, 1 = (X - x)(X + x) = X^2 - x^2. Portanto, a área da região cinza, dada por

(X^2 - x^2)\ \pi é igual a \pi.

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Resolução comentada

A região cinza é uma coroa circular: sua área é a área do círculo maior menos a do menor, ou seja, \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2), em que R é o raio externo e r o raio interno.

Seja O o centro e T o ponto em que AB toca a circunferência interna. Um raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência, então OT \perp AB e OT = r.

Como A e B estão na circunferência externa, OA = OB = R. O triângulo OAB é isósceles e OT é a altura relativa à base, que também é a mediana. Logo T é o ponto médio de AB:

AT = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1

No triângulo retângulo OTA, o teorema de Pitágoras dá:

R^2 = r^2 + 1^2 \Rightarrow R^2 - r^2 = 1

Portanto, a área da coroa é:

\pi (R^2 - r^2) = \pi \cdot 1 = \pi

Não precisamos conhecer R e r separadamente, só a diferença de seus quadrados.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BUsa a corda inteira (2) no lugar da metade: faria R^2-r^2=2.
CDivide a área por 2 sem motivo; o resultado correto é \pi\cdot 1.
DNão tem base geométrica; não decorre de R^2-r^2=1.
ENão decorre da relação de Pitágoras; seria R^2-r^2=1/3.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗