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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

A cor de cada número de um relógio alterna de preto para branco ou de branco para preto, cada vez que qualquer um dos ponteiros aponta para a marca da hora que esse número representa no relógio. À meia-noite todos os números ficam pretos e, depois, a alternância de cores começa. Na figura, vemos as cores dos números do relógio em alguns horários.

Três relógios analógicos mostrando diferentes horários e cores nos números de 1 a 12: no primeiro (0h 00min, meia-noite), todos os números de 1 a 12 estão pretos; no segundo (0h 30min), os números de 1 a 6 estão brancos e os de 7 a 12 estão pretos; no terceiro (1h 40min), os números 9, 10, 11, 12 e 1 estão brancos e os números de 2 a 8 estão pretos.

Como estarão as cores dos números às 3h 30min?

  1. A
    Relógio marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1, 2 e 3 brancos, e os números 4, 5 e 6 pretos.
  2. B
    Relógio marcando 3h 30min com os números 3, 4, 5 e 6 brancos, e os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 e 2 pretos.
  3. C
    Relógio marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12, 1 e 3 brancos, e os números 2, 4, 5 e 6 pretos.
  4. D
    Relógio marcando 3h 30min com os números 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 3 brancos, e os números 1, 2, 4, 5 e 6 pretos.
  5. E
    Relógio marcando 3h 30min com os números 1, 2, 4, 5 e 6 brancos, e os números 3, 7, 8, 9, 10, 11 e 12 pretos.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Cada número troca de cor toda vez que um ponteiro passa por ele. Então basta contar quantas vezes cada número foi "visitado" entre 0h00 e 3h30: número de visitas ímpar deixa o número branco; par deixa preto.

Ponteiro das horas: vai de 12 até um pouco depois do 3 (às 3h30 está entre 3 e 4). Passou pelos números 1, 2 e 3, uma vez cada. O 12 é a posição inicial, e não conta como passagem.

Ponteiro dos minutos: em 3h30 deu 3 voltas completas e está no 6. Em cada volta passa pelos 12 números (1, 2, ..., 12), e na quarta volta chega até o 6. Contando o 12 ao final de cada volta:

  • números 1 a 6: passou 4 vezes (3 voltas + a parcial);
  • números 7 a 12: passou 3 vezes (as 3 voltas completas).

Somando as visitas:

  1. Números 1, 2, 3: 4 + 1 = 5 visitas, ímpar, ficam brancos.
  2. Números 4, 5, 6: 4 visitas, par, ficam pretos.
  3. Números 7 a 12: 3 visitas, ímpar, ficam brancos.

Verificação com 1h40: o minutos passou por 1 a 12 uma vez e depois 1 a 8, enquanto as horas passaram pelo 1. O 1 teve 3 visitas (branco), o 2 teve 2 (preto), e o 9 a 12 tiveram 1 (brancos). Isso confere com a figura.

Portanto, às 3h30 estão brancos: 1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12; e pretos: 4, 5, 6. Isso corresponde à figura da alternativa A.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BDeixa brancos 3, 4, 5 e 6, como se só o ponteiro dos minutos tivesse agido, ignorando as voltas completas.
  • CDeixa o 2 preto e o 1 branco, esquecendo que o ponteiro das horas passou pelo 2.
  • DDeixa o 1 e o 2 pretos, esquecendo a passagem do ponteiro das horas por eles.
  • EInverte as cores: os números 1, 2, 4, 5 e 6 brancos não correspondem às contagens de passagens.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Nível 3 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗