Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2025

Resolução comentada

A relação f\left(\frac{x}{y}\right)=y\,f(x) vale para quaisquer x,y\neq 0. Basta escolher x e y de modo que \frac{x}{y}=3 e x=6, pois conhecemos f(6).

1. Com x=6: \frac{6}{y}=3, logo y=2.
2. Substituindo na relação: f\left(\frac{6}{2}\right)=2\,f(6).
3. Então f(3)=2\cdot 4=8.

Confirmando com a mesma relação em outro sentido: tomando x=3 e y=\frac12, temos f(6)=\frac12 f(3), ou seja, 4=\frac12 f(3) e f(3)=8. Os dois caminhos concordam.

O erro comum é achar que dividir o argumento por 2 também divide o valor da função por 2; aqui acontece o contrário, pois o valor é multiplicado por y.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem divide 4 por 2 ao ver que 3 é metade de 6, esquecendo que a relação multiplica por y.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Adivide f(6) por 2, achando que f se comporta como função linear.
• Bnão tem justificativa na relação; resulta de supor proporcionalidade errada entre argumento e valor.
• Csoma ou usa 6 diretamente sem aplicar y f(x) com y=2.
• Emultiplica 4 por 6, usando x no lugar de y=2.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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