Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2025

Question

Quantos são os triângulos que podem ser formados com vértices escolhidos entre os vértices de um cubo de modo que nenhum deles esteja contido em uma das faces do cubo?

A
32
B
30
C
34
D
27
E
37

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Quantos são os triângulos que podem ser formados com vértices escolhidos entre os vértices de um cubo de modo que nenhum deles esteja contido em uma das faces do cubo?

A
32
B
30
C
34
D
27
E
37

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Podemos organizar a contagem começando pelas possibilidades de triângulos que têm como um dos lados uma aresta do cubo (Figura 1).

Para cada aresta, temos os 2 triângulos destacados na Figura 1, cujos lados são a aresta escolhida, a diagonal de uma face e uma das diagonais do cubo; os demais triângulos determinados por essa aresta e um vértice do cubo distinto dessas duas possibilidades estão contidos em uma face do cubo, assim como os triângulos determinados por duas arestas consecutivas. Como são 12 arestas, teremos 24 triângulos todos distintos determinados por uma aresta e um vértice, como exemplificado na Figura 1.

Tomando a diagonal de uma face como lado de um triângulo (Figura 2A), os dois vértices da face oposta extremos da diagonal dessa face não paralela à diagonal escolhida determinam quatro triângulos diferentes dos anteriores, cujos três lados são diagonais de faces do cubo; a outra diagonal da mesma face determina, da mesma forma, cada par quatro triângulos diferentes dos anteriores (Figuras 2B). Portanto, temos ao todo, 8 triângulos equiláteros determinados pelas diagonais das faces do cubo.

[Figura: Três desenhos esquemáticos de cubos com vértices e arestas destacados, nomeados como Figura 1, Figura 2A e Figura 2B. A Figura 1 ilustra dois triângulos internos com uma aresta em comum, acompanhada da legenda "24 triângulos - aresta do cubo como um dos lados". As Figuras 2A e 2B ilustram triângulos cujos lados são diagonais das faces do cubo, acompanhadas da legenda "8 triângulos - diagonais das faces como lados".]

Os triângulos que têm por lado uma diagonal do cubo estão contemplados na primeira contagem.

Conclusão: o número de triângulos determinados por vértices do cubo, não contidos nas suas faces são 24 + 8 = 32.

Outra solução: O cubo tem 8 vértices. Podemos escolher três deles de \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 maneiras. Porém, algumas dessas maneiras formam triângulos que estão contidos em uma face do cubo. Cada face possui 4 triângulos. Como são 6 faces, temos 4 \times 6 = 24 triângulos desse tipo. Portanto, o número total de triângulos não contidos nas faces é 56 - 24 = 32.

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Resolução comentada

Para formar um triângulo, escolhemos 3 vértices do cubo que não estejam alinhados. Como o cubo não tem três vértices na mesma reta, qualquer escolha de 3 vértices forma um triângulo.

Total de triângulos com vértices no cubo:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Triângulos contidos em uma face: cada face é um quadrado com 4 vértices, e escolhemos 3 deles: \binom{4}{3}=4 triângulos por face. Como são 6 faces, temos 6\cdot4=24 triângulos.
Esses 24 triângulos são todos diferentes entre si. Três vértices de uma face não pertencem a nenhuma outra face, pois duas faces têm no máximo 2 vértices em comum.
Os triângulos que não estão em nenhuma face são os restantes:
56-24=32.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BSubtrai um número errado de triângulos de face; os triângulos de face são 24, não 26.
CSubtrai apenas 22 triângulos, contando menos que os 24 das faces.
DSubtrai 29, contando triângulos de face a mais.
ESubtrai apenas 19, contando triângulos de face a menos.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Poliedros e relação de Euler.

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Questão 17 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗