Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2025

Question

Na figura, ABCD é um quadrado e os triângulos ABF e CEG são equiláteros. A área do triângulo ABF é 18\text{ cm}^2. Qual é a área do triângulo CEG?

Quadrado ABCD com vértices A e B na base inferior, e D e C no topo. O ponto E está no lado superior CD. Um segmento de reta vai de B até E, passando pelos pontos G e F no interior do quadrado, de modo que B, G, F, E são colineares. Há segmentos ligando A a F e C a G, formando os triângulos equiláteros ABF e CEG no interior do quadrado.

A
6{,}5\text{ cm}^2
B
6\text{ cm}^2
C
5{,}5\text{ cm}^2
D
7\text{ cm}^2
E
5\text{ cm}^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura, ABCD é um quadrado e os triângulos ABF e CEG são equiláteros. A área do triângulo ABF é 18\text{ cm}^2. Qual é a área do triângulo CEG?

Quadrado ABCD com vértices A e B na base inferior, e D e C no topo. O ponto E está no lado superior CD. Um segmento de reta vai de B até E, passando pelos pontos G e F no interior do quadrado, de modo que B, G, F, E são colineares. Há segmentos ligando A a F e C a G, formando os triângulos equiláteros ABF e CEG no interior do quadrado.

A
6{,}5\text{ cm}^2
B
6\text{ cm}^2
C
5{,}5\text{ cm}^2
D
7\text{ cm}^2
E
5\text{ cm}^2

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Os triângulos equiláteros ABF e CEG têm ângulos internos medindo 60^\text{o} cada. Dessa forma, os ângulos GCB e GBC medem 30^\text{o} cada e, consequentemente, o triângulo BCG é isósceles.

Assim, a altura do triângulo CEG é igual à metade do lado do quadrado ABCD, que, por sua vez, é igual ao lado do triângulo ABF.

Sejam L o lado do quadrado ABCD e do triângulo ABF e l, o lado do triângulo CEG. A altura do triângulo CEG é igual a \frac{L}{2}. Logo, temos a seguinte relação:

\frac{L}{2} = \frac{l\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow l = \frac{L}{\sqrt{3}}

A partir da relação entre áreas e lados dos triângulos, conseguimos descobrir a área do triângulo CEG (A_{CEG}):

\frac{18}{A_{CEG}} = \left(\frac{L}{\frac{L}{\sqrt{3}}}\right)^2 \Leftrightarrow \frac{18}{A_{CEG}} = 3 \Leftrightarrow A_{CEG} = 6\text{ cm}^2

Portanto, a área do triângulo CEG é igual a 6\text{ cm}^2.

[Figura: Quadrado ABCD com vértices A e B na base, D e C no topo. No interior, há o triângulo ABF e o triângulo CEG, com o ponto E sobre o lado superior CD. Os segmentos CG e BG possuem marcações de congruência com traço duplo, e os ângulos GCB e GBC estão indicados por arcos. Há uma linha vertical perpendicular ao lado superior CD que desce até o vértice G, indicada por um símbolo de ângulo reto.]

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Resolução comentada

Seja \ell o lado do quadrado. Como ABF é equilátero, AB=BF=\ell e o ângulo \hat{ABF}=60^\circ. Logo B, F e E estão alinhados e BE forma 60^\circ com AB.\n\nComo CD\parallel AB, o ângulo \hat{CEB}=\hat{ABE}=60^\circ (ângulos alternos internos). O triângulo CEG é equilátero, então G está sobre BE e CG=GE=CE.\n\nNo triângulo retângulo BCE (ângulo reto em C), o ângulo em E vale 60^\circ, e o lado BC=\ell é o cateto oposto a E. Então:\n\n1. \tg 60^\circ=\dfrac{BC}{CE}, ou seja, CE=\dfrac{\ell}{\sqrt3}.\n2. A razão entre os lados dos triângulos equiláteros é \dfrac{CE}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt3}.\n3. A razão entre as áreas é o quadrado disso: \dfrac{1}{3}.\n\nPortanto:\n\n

\text{Área}(CEG)=\dfrac{18}{3}=6\\ \text{cm}^2

\n\nComo semelhança de figuras: lados na razão k, áreas na razão k^2.\n\nAlternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a razão de áreas 1/3; não decorre de nenhum cálculo correto.
CValor sem base na razão de semelhança 1/\sqrt3 elevada ao quadrado.
DValor arbitrário, não corresponde a 18/3.
EValor arbitrário, não corresponde a 18/3.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 16 no caderno Nível 3 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗