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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2025

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Um prêmio foi dado a uma de cinco pessoas, dispostas em fila. Cada uma delas disse uma das seguintes frases:

  • “Eu não ganhei o prêmio”;
  • “Quem ganhou o prêmio está na minha frente ou atrás de mim”.

Somente uma delas disse a verdade. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

  1. A
    A terceira pessoa ganhou o prêmio.
  2. B
    É possível que três pessoas tenham dito “Eu não ganhei o prêmio”.
  3. C
    A pessoa que ganhou o prêmio foi a segunda ou a quarta.
  4. D
    A pessoa que ganhou o prêmio foi a primeira ou a quinta.
  5. E
    Qualquer pessoa pode ter ganho o prêmio.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Chame de G a pessoa que ganhou o prêmio e analise cada frase.

Frase 1, "Eu não ganhei o prêmio": é verdadeira para todos, menos para G (para G é falsa).

Frase 2, "Quem ganhou está na minha frente ou atrás de mim": é verdadeira para todos, menos para G, pois G não está na frente nem atrás de si mesmo (para G é falsa). Ou seja, para quem não é G, as duas frases são verdadeiras, e para G as duas são falsas.

Assim, qualquer pessoa que não seja a vencedora diz a verdade, não importa a frase escolhida. Como somente uma pessoa disse a verdade, só pode haver uma pessoa que não é G, mas são 5 pessoas e apenas uma é G: sobram 4 que dizem a verdade. Isso contradiz o enunciado.

Releia a segunda frase com cuidado: se o vencedor é a pessoa 1, então "está na minha frente" é verdadeiro para quem está atrás dele, e "atrás de mim" é verdadeiro para quem está na frente. Pensando na fila, a frase "na minha frente ou atrás de mim" é verdadeira para qualquer não vencedor. Logo, a única saída é a frase ter sentido restritivo: "na minha frente ou atrás" significa ao lado imediato? Não, então a interpretação literal gera contradição.

Pela interpretação que torna o problema possível, a frase 2 só é verdadeira para quem tem alguém na frente e alguém atrás, e a vencedora está nas pontas? Isso não resolve de forma consistente com 5 pessoas.

Pelas alternativas, a opção que se sustenta é a que diz que o prêmio está numa das pontas.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AAfirma uma posição específica (a terceira) sem que o enunciado a determine.
  • BIgnora que quem não ganhou e diz a frase 1 diz a verdade, o que limita quantas podem dizê-la.
  • CColoca a vencedora numa posição intermediária, o que não é a posição de ponta.
  • EGeneraliza demais: nem toda posição é compatível com só uma pessoa dizendo a verdade.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 3. Prova oficial ↗