Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2025

Question

Na figura, ABCD é um retângulo. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AD e BC. As áreas dos triângulos azuis são 12, 5 e 10. Qual é a área do triângulo amarelo?

Retângulo ABCD com pontos M no lado AD e N no lado BC, além de um ponto no lado AB e outro no lado CD, formando um quadrilátero branco central e quatro triângulos nos cantos. Os triângulos nos cantos A, B e C são azuis e têm áreas indicadas como 12, 5 e 10, respectivamente. O triângulo no canto D é amarelo e tem um ponto de interrogação (?) indicando a área desconhecida.

A
7
B
6
C
8
D
5
E
9

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura, ABCD é um retângulo. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AD e BC. As áreas dos triângulos azuis são 12, 5 e 10. Qual é a área do triângulo amarelo?

Retângulo ABCD com pontos M no lado AD e N no lado BC, além de um ponto no lado AB e outro no lado CD, formando um quadrilátero branco central e quatro triângulos nos cantos. Os triângulos nos cantos A, B e C são azuis e têm áreas indicadas como 12, 5 e 10, respectivamente. O triângulo no canto D é amarelo e tem um ponto de interrogação (?) indicando a área desconhecida.

A
7
B
6
C
8
D
5
E
9

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Seja P o vértice comum aos três triângulos superiores e Q o vértice comum aos três triângulos inferiores, como na figura. Traçando as alturas relativas à base comum MN dos triângulos PMN e QNM, vemos que essas alturas são paralelas aos lados AD e BC do retângulo. Como M e N são pontos médios desses lados, a base MN é paralela aos lados AB e CD, logo aquelas alturas têm a mesma medida.

[Figura: Retângulo ABCD dividido ao meio pelo segmento horizontal MN, onde M é ponto médio de AD e N é ponto médio de BC. No lado superior AB há um ponto P, formando os triângulos AMP (azul, área 12), PMN (branco, com segmento vertical vermelho representando a altura até MN) e PBN (azul, área 5). No lado inferior CD há um ponto Q, formando os triângulos DMQ (amarelo, com ponto de interrogação "?"), QNM (branco, com segmento vertical vermelho representando a altura até MN) e QNC (azul, área 10).]

Portanto, as áreas dos triângulos PMN e QNM são iguais. Como também são iguais as áreas dos retângulos AMNB e CNMD, concluímos que as áreas das regiões restantes em cada um desses retângulos também são iguais, isto é,

12 + 5 = {?} + 10, isto é, ? = 12 + 5 - 10 = 7.

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Resolução comentada

Sejam w a largura e h a altura do retângulo. Como M e N são pontos médios, os triângulos têm um cateto vertical igual a \frac{h}{2}.

Chame de P o ponto em AB e de Q o ponto em CD. Sejam AP=x e DQ=y. A área de um triângulo retângulo é \frac{\text{cateto}\cdot\text{cateto}}{2}.

Triângulo AMP: \frac{x\cdot h/2}{2}=\frac{xh}{4}=12, logo xh=48.
Triângulo PBN: \frac{(w-x)h}{4}=5, logo (w-x)h=20.
Somando as duas equações: wh=68.
Triângulo NCQ: \frac{(w-y)h}{4}=10, logo (w-y)h=40.
Então yh=wh-40=68-40=28.
Triângulo amarelo MDQ: \frac{y\cdot h/2}{2}=\frac{yh}{4}=\frac{28}{4}=7.

A área do triângulo amarelo é 7.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com as contas; vem de erro ao obter yh ou ao dividir por 4.
CNão corresponde ao cálculo; esquece que a área de cada triângulo é \frac{1}{4} do produto base·altura do retângulo.
DRepete a área de um dos triângulos azuis (5) sem calcular.
EValor sem justificativa, obtido de conta errada com as áreas.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 11 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗