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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Transformações geométricas e localização

Elisa pega uma folha quadrada de papel e a dobra ao meio quatro vezes, sem desdobrá-la, obtendo sempre triângulos isósceles retângulos a cada dobradura.

Sequência de cinco figuras mostrando o processo de dobradura: um quadrado com uma diagonal traçada do canto inferior esquerdo ao canto superior direito; seguido por quatro triângulos isósceles retângulos cada vez menores, os três primeiros com a altura relativa à hipotenusa traçada indicando a dobra e o último sem linhas internas.

Após desdobrar o papel, qual é a figura que representará as marcas das dobras na folha?

  1. A
    Quadrado dividido em quatro quadrados menores por segmentos que unem os pontos médios dos lados opostos, com ambas as diagonais traçadas em cada um dos quatro quadrados menores.
  2. B
    Quadrado dividido em uma malha de dezesseis quadrados menores por três segmentos horizontais e três verticais, além das duas diagonais principais do quadrado maior e diagonais que ligam os pontos médios dos lados adjacentes.
  3. C
    Quadrado com suas duas diagonais principais e dois segmentos que unem os pontos médios dos lados opostos, dividindo-o em oito triângulos.
  4. D
    Quadrado com as duas diagonais principais traçadas e dois segmentos horizontais e dois verticais próximos às bordas, formando quatro quadrados pequenos nos cantos (com suas diagonais) e um quadrado maior no centro.
  5. E
    Quadrado com suas duas diagonais principais traçadas, um losango inscrito cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrado e um quadrado menor inscrito nesse losango.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Resolução comentada

Vamos desfazer as dobras de trás para frente, lembrando que cada dobra vira um vinco reto na folha aberta.

O quadrado de lado 1 é dobrado ao longo de uma diagonal, formando um triângulo isósceles retângulo com catetos 1 e hipotenusa \sqrt{2}.

  1. 1ª dobra: a diagonal do quadrado.
  2. 2ª dobra: a altura relativa à hipotenusa, que liga o vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa. Ela vai até o centro do quadrado, e ao abrir o papel dá a outra diagonal.
  3. 3ª dobra: o triângulo agora tem catetos \frac{\sqrt{2}}{2}. A altura traçada nele liga o vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa, que é um lado do quadrado original. Ela vai do centro ao ponto médio do lado. Ao abrir, aparecem os segmentos que unem os pontos médios de lados opostos, passando pelo centro.
  4. 4ª dobra: o triângulo tem hipotenusa igual a \frac{1}{2} do lado e catetos \frac{\sqrt{2}}{4}\cdot 2. A altura relativa à hipotenusa vai do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa. Ao abrir, ela forma as diagonais dos quatro quadrados menores, de lado \frac12.

Assim, a folha aberta tem:

  • as duas diagonais do quadrado grande;
  • os dois segmentos que ligam os pontos médios dos lados opostos;
  • as diagonais de cada um dos quatro quadrados menores.

Essa figura é a da alternativa A, que mostra os quatro quadrados menores, cada um com suas duas diagonais, e as diagonais do quadrado grande coincidem com algumas delas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BMostra uma malha de 16 quadrados, o que exigiria mais dobras do que as quatro feitas.
  • CTem só as diagonais e as medianas, ou seja, apenas três dobras; falta a quarta.
  • DOs segmentos próximos às bordas não correspondem a nenhuma dobra ao meio.
  • EO losango e o quadrado inscritos não surgem de dobras ao meio sucessivas do triângulo.

Assunto: Transformações geométricas e localização.

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Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗