Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2025

Question

Michel tem hoje 100 reais. Ao final de cada mês, ele pode escolher entre aumentar o valor que tem em 250 reais ou dobrar o valor que tem. Qual é a diferença, em reais, entre o maior valor e o menor valor que ele poderá ter ao final do quarto mês?

A
350
B
500
C
650
D
1900
E
2000

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 2) da OBMEP 2025

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Michel tem hoje 100 reais. Ao final de cada mês, ele pode escolher entre aumentar o valor que tem em 250 reais ou dobrar o valor que tem. Qual é a diferença, em reais, entre o maior valor e o menor valor que ele poderá ter ao final do quarto mês?

A
350
B
500
C
650
D
1900
E
2000

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Vamos considerar todas as situações que podem ocorrer em 4 meses:

[Figura: diagrama em árvore de possibilidades ao longo de 4 meses partindo do valor 100 e se ramificando a cada etapa em duas opções até atingir 16 valores finais, variando entre 900 e 2800]

Assim, o valor máximo alcançado seria 2800 e o mínimo 900, resultando em uma diferença de 1900 reais.

Uma outra maneira de encontrar essa diferença está descrita no esquema a seguir: na linha de cima temos uma sequência dos valores quando Michel toma a pior decisão e, na linha de baixo, temos a sequência dos valores quando Michel toma a melhor decisão. Ao final, a diferença é 2800 - 900 = 1900 reais.

[Figura: esquema partindo do valor 100 e se dividindo em duas sequências horizontais de valores: a linha superior com 200, 400, 650 e 900; e a linha inferior com 350, 700, 1400 e 2800]

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Resolução comentada

Em cada um dos 4 meses Michel escolhe entre somar 250 ou dobrar. Precisamos achar a sequência que dá o maior valor e a que dá o menor.

Menor valor: enquanto o valor é pequeno, dobrar acrescenta pouco, e somar 250 acrescenta sempre o mesmo. Com 100, dobrar dá +100 (menos que 250). Então dobramos sempre:

100 \to 200 \to 400 \to 800 \to 1600

Somar 250 em algum momento sempre é pior, pois o valor ao final do mês 1 seria 350 contra 200, e o dobro posterior só aumenta a vantagem. Testando alguns casos, como somar só no último mês: 800+250=1050 < 1600? Não, 1050 é menor que 1600. Então o menor valor não é o de dobrar sempre; precisamos testar com mais cuidado.

Dobrar sempre dá 1600, mas somar no fim dá menos. Comparar: somar 250 no último mês acrescenta 250, e dobrar acrescenta o valor atual. Se o valor é maior que 250, dobrar acrescenta mais. Assim, o ideal para o menor valor é dobrar enquanto o valor é pequeno (≤ 250) e somar depois:

Mês 1: 100 \to 200 (dobrar, +100 < +250)
Mês 2: 200 \to 400 (dobrar, +200)
Mês 3: 400 \to 650 (somar, +250 < +400)
Mês 4: 650 \to 900 (somar)

Menor valor: 900.

Verificando: somar sempre dá 100+1000=1100, e as outras ordens dão mais que 900.

Maior valor: somar primeiro e dobrar depois:

100 \to 350 \to 700 \to 1400 \to 2800

Somar no mês 1 vale mais, pois o valor somado depois é multiplicado pelos dobros seguintes. Maior valor: 2800.

Diferença: 2800-900=1900.

Alternativa D.

Pegadinha: Achar que o menor valor vem de dobrar sempre (1600) ou somar sempre (1100); o mínimo é 900, dobrando duas vezes e depois somando.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com os extremos corretos 2800 e 900.
BResulta de comparar sequências intermediárias, não os extremos.
CDiferença de poucas operações, não considera o efeito de dobrar após somar.
EValor próximo, mas não corresponde a 2800 − 900.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 12 no caderno Nível 2 da OBMEP 2025

Fonte: OBMEP 2025 · Nível 2. Prova oficial ↗