Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Cada ladrilho tem um triângulo preto em cada um dos quatro cantos. Quando quatro ladrilhos se encontram em um vértice comum, os quatro triângulos desse vértice formam um quadrado preto. Então cada vértice interno da malha do piso gera um quadrado preto.

Nos vértices da borda do piso isso não acontece, pois não há quatro ladrilhos ao redor. Só importam os vértices interiores, onde se encontram quatro ladrilhos.

O piso tem 20 m por 30 m, ou seja, 20 linhas e 30 colunas de ladrilhos.

1. Linhas internas de separação na direção de 20 m: 20-1=19.
2. Linhas internas de separação na direção de 30 m: 30-1=29.
3. Vértices internos: 19\times 29.

Portanto há 551 quadrados pretos.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B (600) engana quem conta um quadrado preto por ladrilho; a C (580) engana quem desconta a borda em só uma direção.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BUsa 20\times 30=600, que é o número de ladrilhos, e não o de vértices internos.
• CCalcula 20\times 29=580, descontando a borda em apenas uma direção.
• DValor sem base na contagem correta; não corresponde a 19\times 29 nem a outro cálculo coerente com os vértices internos.
• EValor sem relação com 19\times 29; não resulta da contagem de vértices internos.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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