Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2024

Question

Na figura observamos três caminhos A, B e C, destacados em vermelho. Eles ligam o topo de uma pirâmide regular de base quadrada a um vértice em sua base, passando por arestas e trechos paralelos à base.

Três representações de uma pirâmide regular de base quadrada, identificadas pelas letras A, B e C, mostrando diferentes trajetos em vermelho que partem do ápice e chegam a um vértice da base, percorrendo trechos de arestas e segmentos horizontais paralelos à base demarcados por linhas tracejadas.

Se a distância percorrida no caminho A é a, no caminho B é b e no caminho C é c, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
a = b = c
B
c < b < a
C
a < b < c
D
a < c < b
E
c < a < b

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2024

Nível 2 · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Na figura observamos três caminhos A, B e C, destacados em vermelho. Eles ligam o topo de uma pirâmide regular de base quadrada a um vértice em sua base, passando por arestas e trechos paralelos à base.

Três representações de uma pirâmide regular de base quadrada, identificadas pelas letras A, B e C, mostrando diferentes trajetos em vermelho que partem do ápice e chegam a um vértice da base, percorrendo trechos de arestas e segmentos horizontais paralelos à base demarcados por linhas tracejadas.

Se a distância percorrida no caminho A é a, no caminho B é b e no caminho C é c, qual das seguintes afirmações é verdadeira?

A
a = b = c
B
c < b < a
C
a < b < c
D
a < c < b
E
c < a < b

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Nos três caminhos, os segmentos ao longo das arestas laterais da pirâmide têm, no total, comprimento igual ao de uma aresta lateral. Representando por x o comprimento dos segmentos paralelos à base mais próximos aos vértices e por y o comprimento dos mais distantes, temos:

[Figura: Três pirâmides identificadas pelas letras A, B e C, mostrando os trajetos sobre suas faces. Na pirâmide A, o trajeto percorre trechos de arestas laterais, um segmento horizontal superior de comprimento x e um segmento horizontal inferior de comprimento y. Na pirâmide B, percorre trechos de arestas laterais e dois segmentos horizontais inferiores de comprimento y. Na pirâmide C, percorre trechos de arestas laterais e dois segmentos horizontais superiores de comprimento x.]

a = x + y + \text{aresta lateral da pirâmide}

b = 2y + \text{aresta lateral da pirâmide}

c = 2x + \text{aresta lateral da pirâmide}

Como x < y, temos 2x < x + y < 2y e, portanto, c < a < b.

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Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, B; versão 4, C; versão 5, D.

Resolução comentada

A ideia é que, numa pirâmide regular, cada trecho horizontal desenhado é paralelo a uma aresta da base. Pela semelhança de triângulos, ele tem comprimento proporcional à sua altura relativa, e os trechos de arestas somam a aresta lateral inteira.

Seja \ell o lado da base e L a aresta lateral. Cada caminho vai do topo ao vértice da base e se divide em trechos ao longo de arestas e trechos horizontais.

Caminho B: desce pela aresta até certa altura, atravessa a face horizontalmente de uma aresta a outra e continua descendo pela outra aresta. Seja t a fração da altura em que ocorre o corte. O trecho horizontal vale t\ell. Pela aresta, o topo vai até a altura t (comprimento tL) e depois o restante (1-t)L ocorre na outra aresta. Total: b = L + t\ell.

Caminho A: tem dois trechos horizontais, em frações t_1 e t_2 da altura, e os trechos descendo pelas arestas somam L ao todo. Os horizontais valem t_1\ell e t_2\ell, então a = L + (t_1+t_2)\ell ou algo equivalente.

Na figura, os trechos horizontais do caminho A ficam em alturas distintas e são curtos, perto do topo e perto do meio. Já no B, o único trecho horizontal fica bem baixo, logo é longo. No C, o trecho horizontal fica perto do topo, então é curto.

Comparando os trechos horizontais: C tem um trecho curto, A tem dois trechos curtos/médios cuja soma de comprimentos (proporcionais às alturas) é menor que o do único trecho baixo de B, e maior que o de C. Assim c < a < b.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AIgnora que os trechos horizontais têm comprimentos diferentes em cada caminho.
BInverte a ordem completa, colocando C como menor e A como maior de forma errada, pois B tem o trecho horizontal mais longo.
CColoca C como o maior, mas C tem o trecho horizontal mais curto, perto do topo.
DColoca A como o menor, mas A tem dois trechos horizontais e portanto é maior que C.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Semelhança e Teorema de Tales.

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Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 9versão 3, questão 5versão 4, questão 6versão 5, questão 7