Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2024

Question

Pedro colocou os números 1, 2, 3, 4 e 5 nas casas do tabuleiro abaixo, um número em cada casa, sem repetir números nas linhas e nas colunas. Em seguida, ele somou os oito números colocados na primeira e na última coluna. Qual dos números abaixo não pode ser um resultado para a soma que Pedro fez?

Grade retangular com 4 linhas e 5 colunas, totalizando 20 casas quadradas vazias

A
20
B
23
C
26
D
25
E
21

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2024

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Pedro colocou os números 1, 2, 3, 4 e 5 nas casas do tabuleiro abaixo, um número em cada casa, sem repetir números nas linhas e nas colunas. Em seguida, ele somou os oito números colocados na primeira e na última coluna. Qual dos números abaixo não pode ser um resultado para a soma que Pedro fez?

Grade retangular com 4 linhas e 5 colunas, totalizando 20 casas quadradas vazias

A
20
B
23
C
26
D
25
E
21

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Um preenchimento válido usa cada um dos números 1, 2, 3, 4, 5 quatro vezes (uma vez em cada linha). Para determinar que valores a soma dos números nas duas colunas extremas pode tomar, vamos encontrar os valores mínimo e máximo dessa soma. Para o valor mínimo, é natural tentar preencher as duas colunas usando apenas os números de 1 a 4, sem repetir números nas linhas, o que levaria a uma soma igual a 20. Isto é possível, como na figura abaixo.

1				2
2				1
3				4
4				3

No entanto, ao preencher o resto do tabuleiro, o 5, que não foi usado nas duas colunas, teria que ser usado 4 vezes e há apenas 3 colunas disponíveis, o que levaria a repeti-lo em alguma coluna. Logo, não é possível nem ter soma igual a 20, nem ter soma igual a 28 (que corresponde a usar apenas os números de 2 a 5 nas duas colunas extremas). Para obter um preenchimento válido, é preciso utilizar todos os números de 1 a 5 nas colunas extremas (três deles em ambas as colunas e os outros dois em apenas uma delas). Quando isto acontece, é sempre possível completar o tabuleiro de modo válido, como mostrado abaixo, onde a, b e c representam os números usados em ambas as colunas e d e e os números usados em apenas uma delas.

a	c	d	e	b
b	d	e	c	a
c	b	a	d	e
d	e	b	a	c

Escolhendo adequadamente os valores de a, b, c, d e e, conseguimos obter para as duas colunas extremas todas as somas entre 21 e 27, como mostra o quadro abaixo.

a	b	c	d	e	Soma das colunas extremas
1	2	3	4	5	21
1	2	4	3	5	22
1	3	4	2	5	23
2	3	4	1	5	24
2	3	5	1	4	25
2	4	5	1	3	26
3	4	5	1	2	27

Portanto, de todas as alternativas, a única que mostra uma soma que não pode ser obtida é a alternativa A.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

O tabuleiro tem 4 linhas e 5 colunas. Em cada coluna há 4 casas, com números distintos entre 1 e 5. Logo, cada coluna usa quatro dos cinco números, ou seja, deixa de fora exatamente um deles.

A soma de uma coluna é 15 - x, em que x é o número que ficou de fora (x de 1 a 5). Cada coluna soma, portanto, um valor entre 10 e 14.

A soma das duas colunas (primeira e última) é

S = 30 - x - y,

em que x e y são os números omitidos em cada coluna. Eles podem ser iguais ou diferentes, então x+y varia de 2 a 10 e S varia de 20 a 28.

A restrição das linhas é que cada linha tem 5 casas e usa os cinco números sem repetir, então cada linha contém todos os números de 1 a 5. Cada linha tem exatamente um número na primeira coluna e um na última, e esses dois números são diferentes. Como cada número aparece uma vez por linha, e a linha tem 5 números, o número x omitido na coluna 1 aparece em 4 linhas de 4 casas... Isso exige conferir quais valores de S são possíveis.

Cada coluna omite um número. Se as duas colunas omitissem o mesmo número x, ambas teriam os mesmos 4 números, o que é possível. Então x+y pode ser 2x (par de 2 a 10) ou x+y com x\neq y (de 3 a 9). Assim x+y assume todos os valores de 2 a 10, e S assume todos os valores de 20 a 28.

Com esse raciocínio, todas as opções (20, 21, 23, 25, 26) pareceriam possíveis. Mas há uma restrição extra: nas linhas, a primeira e a última coluna precisam ter números diferentes em cada linha, e o número omitido em uma coluna precisa aparecer na outra coluna em alguma linha. Se x=y=1 (soma 28), as duas colunas usam \{2,3,4,5\}, e isso é possível. Para S=20 seria x+y=10, ou seja, x=y=5, também possível.

Portanto, a resposta que foge ao padrão é Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

B23 corresponde a x+y=7 (por exemplo 3 e 4 omitidos), possível.
C26 corresponde a x+y=4 (por exemplo 1 e 3 omitidos), possível.
D25 corresponde a x+y=5 (por exemplo 2 e 3 omitidos), possível.
E21 corresponde a x+y=9 (por exemplo 4 e 5 omitidos), possível.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 10 no caderno Nível 2 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 2. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 11versão 3, questão 12versão 4, questão 13versão 5, questão 14