Questão 9 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, B; versão 5, A.

Resolução comentada

Cada ladrilho tem um triângulo preto em cada vértice. Quando quatro ladrilhos se encontram em um mesmo vértice, os quatro triângulos juntos formam um quadrado preto. Então cada quadrado preto corresponde a um ponto de encontro de quatro ladrilhos, ou seja, a um vértice interno do piso.

Vértices na borda do piso não servem: ali há só dois ladrilhos (ou um, no canto), e não se forma o quadrado inteiro.

O piso tem 20 m por 30 m, com ladrilhos de 1 m. Logo, são 20 linhas e 30 colunas de ladrilhos.

1. Linhas de vértices na direção de 20 m: 20+1=21, das quais 2 ficam na borda. Sobram 21-2=19 internas.
2. Linhas de vértices na direção de 30 m: 30+1=31, das quais 2 ficam na borda. Sobram 31-2=29 internas.
3. Número de vértices internos: 19\times 29.

Portanto, há 551 quadrados pretos.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem conta um quadrado preto por ladrilho (20 × 30); a D engana quem desconta os vértices da borda de forma errada.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BUsa 20 × 30 = 600, contando os ladrilhos em vez dos vértices internos.
• CValor sem base na contagem correta (580 não vem de 19 × 29).
• DCalcula 18 × 28 = 504, tirando 2 de cada lado em vez de 1 a menos que o número de ladrilhos.
• EValor sem base na contagem correta (560 não vem de 19 × 29).

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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