Questão 10 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, B; versão 4, C; versão 5, E.

Resolução comentada

Como o resto é 0, a divisão é exata: dividendo = divisor × quociente. O dividendo e o divisor têm dois algarismos cada, o quociente tem um, e os cinco algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 são usados uma vez cada.

Então procuramos um número de dois algarismos \overline{ab} e um algarismo q tais que \overline{ab}\times q=\overline{cd}, usando os cinco algarismos distintos.

1. O quociente não pode ser 1, pois o dividendo seria igual ao divisor, repetindo algarismos.
2. Com q=2: o divisor deve ter produto de dois algarismos entre os restantes (1, 3, 4, 5). Testando: 13\times2=26 (tem 6, não serve), 14\times2=28 (não), 15\times2=30 (não), 34\times2=68 (não), 35\times2=70 (não), 43\times2=86 (não), 45\times2=90 (não). Nenhum serve.
3. Com q=3: restam 1, 2, 4, 5. Testando: 12\times3=36 (não), 14\times3=42, mas usa o 4 e o 2 repetidos (o 4 e o 1 estão no divisor, e o 2 sobraria no dividendo, mas o 4 se repete). 15\times3=45 repete o 5. 21\times3=63 (não), 24\times3=72 (não), 25\times3=75 (não), 41\times3=123 (três algarismos). Nenhum serve.
4. Com q=4: restam 1, 2, 3, 5. Testando: 12\times4=48 (não), 13\times4=52. Usa 1, 3 no divisor, 5 e 2 no dividendo, e o 4 no quociente: todos distintos! Funciona.

Conferindo: 52\div13=4, resto 0. Os algarismos 5, 2, 1, 3, 4 são todos distintos.

O quociente é 4.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom quociente 3 nenhum divisor de dois algarismos dá um dividendo com os algarismos restantes.
• BQuociente 1 faria o dividendo igual ao divisor, repetindo algarismos.
• CCom quociente 5 os produtos repetem algarismos ou passam de dois dígitos.
• DCom quociente 2 nenhum produto usa só os algarismos que sobram.

Assunto: Sistemas de numeração.

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