Questão 20 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, B; versão 4, C; versão 5, D.

Resolução comentada

Cada aluno recebe uma trinca de notas (a,b,c), com cada entrada em \{0,1,2\}. A condição diz que dois alunos não podem coincidir em duas posições ao mesmo tempo. Ou seja, se olharmos só para as notas dos problemas 1 e 2, todos os pares (a,b) precisam ser diferentes. Isso vale também para os pares dos problemas 1 e 3 e dos problemas 2 e 3.

Limite superior: há 3\times3=9 pares possíveis de notas nos dois primeiros problemas. Se houvesse 10 alunos, dois deles teriam o mesmo par (a,b), o que é proibido. Logo, no máximo 9 alunos.

Construção com 9: use c=(a+b)\bmod 3, ou seja, a nota do terceiro problema é determinada pelos dois primeiros. Os 9 alunos são:

1. (0,0,0), (0,1,1), (0,2,2)
2. (1,0,1), (1,1,2), (1,2,0)
3. (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)

Verificação: os pares (a,b) são todos distintos por construção. Se dois alunos têm o mesmo a e o mesmo c, então b=c-a é igual, e eles seriam o mesmo aluno. O mesmo raciocínio vale para b e c iguais. Assim, nenhum par de alunos coincide em duas notas.

Portanto, o máximo é 9.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A8 é possível, mas não é o máximo, pois existe uma construção com 9 alunos.
• B12 ultrapassa o limite de 9 pares distintos de notas em dois problemas.
• C6 é muito pequeno, pois é possível chegar a 9 alunos.
• D16 viola o limite de 9, pois haveria dois alunos com o mesmo par de notas nos dois primeiros problemas.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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