Questão 20 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, B; versão 4, C; versão 5, D.

Resolução comentada

Cada aluno recebe um trio de notas (a,b,c), com cada entrada em \{0,1,2\}. A condição diz que, olhando para quaisquer dois problemas, não há dois alunos com o mesmo par de notas.

Limite superior: considere só os problemas 1 e 2. Cada aluno tem um par (a,b), e há 3\cdot 3=9 pares possíveis. Como os pares não podem se repetir, há no máximo 9 alunos.

Construção com 9 alunos: precisamos de 9 trios em que qualquer par de coordenadas apareça uma única vez. Tome (a,b,c) com c \equiv a+b \pmod 3:

1. Os pares (a,b) percorrem os 9 casos, sem repetição.
2. Fixados a e c, temos b\equiv c-a, que é único, então os pares (a,c) também não se repetem.
3. Fixados b e c, temos a\equiv c-b, que é único, então os pares (b,c) também não se repetem.

Assim, os 9 trios satisfazem a condição para os três pares de problemas, e o máximo 9 é atingido.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A8 é possível, mas não é o máximo, pois existe construção com 9 alunos.
• B12 ultrapassa os 9 pares possíveis de notas em dois problemas, o que forçaria repetição.
• C6 é menor que o máximo; ignora a construção com 9 trios.
• D16 excede o limite de 9 pares distintos para dois problemas.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Lógica e raciocínio lógico.

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