Questão 19 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Use como unidade o lado do primeiro quadrado, a. Como AB é a diagonal dele e mede 1\text{ cm}, temos a=\dfrac{1}{\sqrt2} e a^2=\dfrac12\ \text{cm}^2.

Cada quadrado seguinte tem como lado a diagonal do anterior, então o lado é multiplicado por \sqrt2 a cada passo. Os lados são a, a\sqrt2=1, \sqrt2 e 2. Assim, os quadrados têm lados com a direção horizontal e vertical ou inclinada a 45^\circ alternadamente.

Ponha M na origem, com eixo x para a direita e eixo y para baixo, medindo em unidades de a. Lendo a figura (a malha é formada por passos de a), os outros dois vértices do triângulo sombreado ficam em:

1. P=(5,2), o vértice da direita;
2. Q=(3,4), o vértice de baixo.

A área de um triângulo com vértice na origem é metade do módulo do produto vetorial:

Convertendo, com a^2=\dfrac12\ \text{cm}^2:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor pequeno demais, que não corresponde ao cálculo da área com as coordenadas dos vértices.
• CNão resulta do produto vetorial 14 nem da conversão a^2=1/2.
• DValor grande demais, obtido sem converter corretamente a unidade a^2=\tfrac12.
• EValor sem relação com 7a^2; resulta de erro na leitura das coordenadas ou na conversão.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.