Questão 1 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Pela figura, 0<x<y<1. Vamos comparar cada expressão com x, que é a alternativa E.

1. x^2: como x está entre 0 e 1, multiplicar por x diminui o número. Então x^2 = x\cdot x < x\cdot 1 = x.
2. x+y: somamos um número positivo a x, logo x+y > x.
3. xy: como y<1, temos xy < x. Pelo mesmo argumento, xy<x.
4. x/y: como y<1, dividir por y aumenta o valor, então x/y > x.
5. x: é o valor de referência.

Restam duas candidatas: x^2 e xy. Como x<y e x>0, multiplicando os dois lados por x obtemos x\cdot x < x\cdot y, ou seja, x^2<xy.

A ordem fica x^2 < xy < x < x/y, e x+y>x. O menor número é x^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem percebe que xy<x e para aí, sem comparar xy com x^2 (que é menor porque x<y).

Por que as outras alternativas estão erradas

• Bx+y é maior que x, pois soma um número positivo; não é o menor.
• Cxy é menor que x, mas maior que x^2, já que y>x.
• Dx/y é maior que x, pois dividir por um número entre 0 e 1 aumenta o valor.
• Ex é maior que x^2 e que xy, pois multiplicar por números entre 0 e 1 diminui.

Assunto: Frações, decimais e operações básicas.

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