Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2024

Question

Joãozinho tem três dados com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ele empilhou os dados de tal forma que os números em cada par de faces em contato somam 5 e o número 1 ficou visível, como indicado na figura. Qual é o número que ficou na face superior da pilha?

Pilha com três dados sobrepostos; na face superior do dado do topo há um ponto de interrogação (?) e na face frontal esquerda do dado inferior há o número 1.

A
6
B
2
C
5
D
3
E
4

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Nível 3) da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Joãozinho tem três dados com faces numeradas de 1 a 6. Nesses dados, a soma dos números em faces opostas é sempre 7. Ele empilhou os dados de tal forma que os números em cada par de faces em contato somam 5 e o número 1 ficou visível, como indicado na figura. Qual é o número que ficou na face superior da pilha?

Pilha com três dados sobrepostos; na face superior do dado do topo há um ponto de interrogação (?) e na face frontal esquerda do dado inferior há o número 1.

A
6
B
2
C
5
D
3
E
4

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: A soma de faces opostas é sempre 7. Assim, se somarmos a face inferior da pilha (em contato com o chão) com sua oposta, as duas faces opostas (inferior e superior) do dado intermediário e a face superior da pilha com sua face oposta temos 7 + 7 + 7 = 21. Mas a soma de cada par de faces em contato é 5, assim, a soma dessas quatro faces em contato entre si é 5 + 5 = 10, fazendo com que a soma da face inferior da pilha com a face superior da pilha seja 11. As únicas possibilidades são: face inferior 5 e face superior 6 ou face inferior 6 e face superior 5. Mas como estamos vendo o 1 no dado mais baixo, do lado oposto está o 6 e concluímos que na face inferior só pode estar o 5. Finalmente, a face superior é o número 6.

[Figura: Três dados empilhados verticalmente. A face superior do dado do topo apresenta um ponto de interrogação, e a face frontal do dado da base apresenta o número 1.]

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Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, A; versão 4, B; versão 5, C.

Resolução comentada

O número 1 aparece em uma face lateral do dado de baixo. Portanto, nem 1 nem seu oposto, 6, podem estar na face superior desse dado: essas duas faces ficam nas laterais.

Chame de x o número na face superior do dado de baixo. Assim,

x\in\{2,3,4,5\}.

Como as faces em contato somam 5, a face inferior do dado do meio tem número 5-x. A face superior desse mesmo dado é a oposta, então seu número é

7-(5-x)=x+2.

Repetimos o raciocínio para o dado de cima: sua face inferior tem número 5-(x+2)=3-x. Logo, a face superior da pilha tem número

7-(3-x)=x+4.

Nenhuma face pode ter número maior que 6. Portanto,

x+4\leq 6\quad\Rightarrow\quad x\leq 2.

Como já sabemos que x pertence a \{2,3,4,5\}, necessariamente x=2. Assim, o número procurado é 2+4=6.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas B e E apresentam resultados intermediários: os números nas faces superiores dos dados de baixo e do meio.

Por que as outras alternativas estão erradas

BIndica o número da face superior do dado de baixo, não o da pilha.
CExigiria 1 na face superior do dado de baixo, embora ele esteja em uma face lateral.
DExigiria que a face superior do dado de baixo tivesse número −1, o que é impossível.
EIndica o número da face superior do dado do meio, não o da pilha.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 19 no caderno Nível 3 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗

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