Questão 18 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, A; versão 4, B; versão 5, C.

Resolução comentada

Em cada dado, faces opostas somam 7. Nas faces em contato, a soma é 5.

O número 1 aparece na face frontal do dado de baixo. Isso não diz nada sobre as faces de cima e de baixo dele. O que a figura mostra é o 1 numa face lateral, e a face de cima e a de baixo desse dado formam um par oposto.

O segredo é que o par de faces opostas de cada dado soma 7, então a face de cima e a de baixo de um mesmo dado somam sempre 7, qualquer que seja o dado.

Nomeando os dados de baixo para cima como 1, 2 e 3, com b para a face de baixo e c para a de cima:

1. Dado 1: b_1 + c_1 = 7.
2. Contato entre os dados 1 e 2: c_1 + b_2 = 5.
3. Dado 2: b_2 + c_2 = 7.
4. Contato entre os dados 2 e 3: c_2 + b_3 = 5.
5. Dado 3: b_3 + c_3 = 7, e c_3 é a face do topo.

Do passo 2: b_2 = 5 - c_1. Do passo 3: c_2 = 7 - b_2 = 2 + c_1. Do passo 4: b_3 = 5 - c_2 = 3 - c_1. Do passo 5: c_3 = 7 - b_3 = 4 + c_1.

Assim, o topo é c_3 = 4 + c_1, que depende de c_1, a face de cima do dado de baixo. Como b_2 = 5 - c_1 precisa estar entre 1 e 6 e b_3 = 3 - c_1 \geq 1, temos c_1 \in \{1, 2\}. Se c_1 = 2, então c_3 = 6. Se c_1 = 1, então c_3 = 5.

O 1 visível está numa face lateral do dado de baixo, então a face de cima desse dado não pode ser 1 (nem 6, seu oposto). Logo c_1 = 2 e c_3 = 6.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BÉ o valor de c_1, a face de cima do dado de baixo, e não a do topo da pilha.
• CResulta de c_1 = 1, que é impossível, pois o 1 está numa face lateral do dado de baixo.
• DNão satisfaz as relações de soma 7 e soma 5 em nenhum caso possível.
• ECorresponde a c_1 = 0, que não existe num dado.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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