Questão 18 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Vamos contar a probabilidade pelo complementar ou diretamente, pessoa por pessoa. Como as canoas são diferentes, mas só importa quem faz dupla com quem, podemos pensar em formar as duplas.

O que se quer: nenhum dos três irmãos forma dupla com outro irmão.

1. Antônio escolhe um parceiro entre as outras 7 pessoas. Para não ficar com irmão, o parceiro deve ser um dos 5 não irmãos: probabilidade \frac{5}{7}.

2. Sobram 6 pessoas: Bruno, Carlos e 4 não irmãos (um não irmão já está com Antônio). Bruno escolhe parceiro entre as outras 5; não pode ser Carlos, então são 4 possibilidades boas: probabilidade \frac{4}{5}.

3. Sobram 4 pessoas: Carlos e 3 não irmãos. Carlos fica com um não irmão, e nenhum outro irmão resta, então a probabilidade é 1.

Multiplicando:

Conferência pelo complementar: a probabilidade de algum par de irmãos juntos é 3\cdot\frac{1}{7}=\frac{3}{7}. Dois pares de irmãos juntos ao mesmo tempo é impossível, pois isso exigiria que um irmão estivesse em duas duplas. Logo 1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BValor sem relação com o cálculo; confunde o complementar 3/7 com outra fração.
• CNúmero pequeno sem base na contagem; não corresponde a nenhum caso do problema.
• DIgnora que há três pares de irmãos possíveis e usa uma estimativa errada.
• EÉ 3/4, que não vem de nenhuma contagem correta das duplas.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Princípio fundamental da contagem.

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