Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2024

Question

Ana, Bia e Carla visitaram a floricultura de seu bairro. O vendedor separou as 5 flores mostradas na figura e disse que iria presentear cada uma com uma dessas flores.

Cinco flores com miolo preto: a primeira amarela com três pétalas, a segunda amarela com quatro pétalas, a terceira roxa com três pétalas, a quarta amarela com cinco pétalas e a quinta roxa com seis pétalas.

Carla escutou a seguinte conversa entre Bia e Ana:

— Bia disse: “Oi Ana, eu e Carla sabemos a cor de cada uma das flores que vamos ganhar, mas nem eu nem ela sabemos as quantidades de pétalas das flores que cada uma de nós irá ganhar”.

— Ana disse: “Eu sei a quantidade de pétalas da flor que vou ganhar, mas não sei a cor”.

A partir dessa conversa, Carla descobriu a flor que Ana vai ganhar. Qual é essa flor?

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Nível 3) da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Ana, Bia e Carla visitaram a floricultura de seu bairro. O vendedor separou as 5 flores mostradas na figura e disse que iria presentear cada uma com uma dessas flores.

Cinco flores com miolo preto: a primeira amarela com três pétalas, a segunda amarela com quatro pétalas, a terceira roxa com três pétalas, a quarta amarela com cinco pétalas e a quinta roxa com seis pétalas.

Carla escutou a seguinte conversa entre Bia e Ana:

— Bia disse: “Oi Ana, eu e Carla sabemos a cor de cada uma das flores que vamos ganhar, mas nem eu nem ela sabemos as quantidades de pétalas das flores que cada uma de nós irá ganhar”.

— Ana disse: “Eu sei a quantidade de pétalas da flor que vou ganhar, mas não sei a cor”.

A partir dessa conversa, Carla descobriu a flor que Ana vai ganhar. Qual é essa flor?

A
B
C
D
E

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Temos cinco flores, que podem ter três, quatro, cinco ou seis pétalas, que podem ser da cor laranja (as quais chamaremos de flores laranjas) ou roxo (as quais chamaremos de flores roxas).

[Figura: cinco flores lado a lado: flor de tom claro com três pétalas, flor de tom claro com quatro pétalas, flor de tom escuro com três pétalas, flor de tom claro com cinco pétalas e flor de tom escuro com seis pétalas.]

Bia diz que ela e Carla sabem as cores das flores que ganharão, mas não sabem quantas pétalas elas têm. Em princípio as duas flores podem ser: duas flores laranjas, duas flores roxas, uma flor laranja e uma flor roxa.

Ana responde que sabe quantas pétalas tem sua flor, mas não sabe a cor. Isso indica que a flor de Ana tem três pétalas, pois se tivesse quatro, cinco ou seis pétalas ela saberia exatamente que flor iria ganhar.

A partir dessa conversa Carla descobre que flor vai ganhar. Note que se as cores das flores de Bia e Carla fossem laranjas seria impossível determinar qual flor Ana iria ganhar. Por exemplo, elas poderiam ter recebido as flores de quatro e cinco pétalas. O mesmo acontece se as flores fossem uma laranja e uma roxa. Por exemplo, elas poderiam ter recebido uma flor de cinco pétalas (laranja) e uma de seis pétalas (roxa). Como Carla foi capaz de deduzir a cor da flor que Ana irá ganhar, concluímos que Bia e Carla irão ganhar duas flores roxas, o que inclui uma flor de três pétalas, necessariamente. A conclusão é que Ana ganhará uma flor laranja de três pétalas.

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Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

As flores são: amarela com 3 pétalas (A3), amarela com 4 (A4), roxa com 3 (R3), amarela com 5 (A5) e roxa com 6 (R6).

O raciocínio usa conhecimento comum: cada pessoa sabe o que a outra sabe, e cada afirmação elimina possibilidades.

Bia diz que ela e Carla sabem a cor das suas flores, mas não sabem a quantidade de pétalas. Quem sabe a cor e não descobre a quantidade é porque a cor se repete. Se Bia ou Carla tivesse a flor R6, saberia as pétalas (6 é única), pois só há uma roxa com 6 mas as roxas são duas: se a flor fosse roxa, sobraria dúvida entre R3 e R6. Então a cor não identifica a pétala só se houver mais de uma flor com aquela cor, o que vale para amarelas (4) e roxas (2). Logo isso não elimina nada pela cor.
O que elimina é a quantidade de pétalas: Bia e Carla não sabem as pétalas, então nenhuma delas pode ter uma flor cuja cor identifique a quantidade. Isso não ocorre com nenhuma cor aqui, mas Bia diz que Carla também sabe a cor, e a conclusão vale para qualquer cor sobrando duas ou mais flores.
Ana sabe a quantidade de pétalas, mas não a cor. Isso só ocorre se a quantidade se repetir em cores diferentes: 3 pétalas (A3 e R3). As quantidades 4, 5 e 6 são únicas e revelariam a cor.
Ana tem, então, uma flor de 3 pétalas: A3 ou R3. Se Ana tivesse R3, restariam R6 como única roxa; quem ficasse com ela saberia a cor roxa e as 6 pétalas, contrariando Bia. Logo Ana não tem R3.

Portanto Ana ganha a flor amarela com três pétalas.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

B4 pétalas é quantidade única; Ana saberia a cor, contrariando sua fala.
CSe Ana tivesse a roxa de 3, a roxa de 6 seria a única roxa restante e sua dona saberia as pétalas, contrariando Bia.
D5 pétalas é quantidade única; Ana saberia a cor.
E6 pétalas é quantidade única; Ana saberia a cor.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 17 no caderno Nível 3 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 18versão 3, questão 19versão 4, questão 15versão 5, questão 16