Questão 13 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, A; versão 3, B; versão 4, C; versão 5, D.

Resolução comentada

Na figura, o quadrado tem área 75\ \text{cm}^2, então o lado é \ell=\sqrt{75}=5\sqrt3 cm e a diagonal PR mede \ell\sqrt2=5\sqrt6 cm.

A dobra é feita sobre uma reta perpendicular à diagonal PR. Na figura, essa reta liga um ponto do lado SP ao vértice Q, e o triângulo cinza é o canto dobrado. Como P' é a imagem de P pela dobra, a dobra é a mediatriz de PP'. Chamemos de d a distância PP'.

O triângulo cinza é a imagem do canto triangular de P cortado pela dobra. Ele é um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa sobre a dobra. A altura em relação a essa hipotenusa é d/2 (de P até a dobra), logo a hipotenusa mede 2\cdot d/2=d. Assim, sua área é:

A parte branca visível é o quadrado inteiro menos o canto dobrado (que sai de cima do quadrado) menos a região coberta pelo triângulo cinza. Como o triângulo cinza cobre exatamente a área do canto original, a parte branca visível é 75-2\cdot\frac{d^2}{4}=75-\frac{d^2}{2}.

Igualando as áreas visíveis:

1. \dfrac{d^2}{4}=75-\dfrac{d^2}{2}
2. \dfrac{3d^2}{4}=75
3. d^2=100
4. d=10 cm

Verificação: d=10<5\sqrt6\approx12{,}2, então P' fica dentro da diagonal.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana: 5,0 é a distância de P até a dobra (d/2), não de P até P'.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a equação das áreas; não satisfaz d^2=100.
• BResulta de erro na área do triângulo cinza ou da parte branca; não satisfaz a igualdade.
• CValor sem base na equação; seria a metade da diagonal ou confusão com o lado.
• DCorresponde a d/2, a altura do canto, e não à distância PP'.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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