Questão 12 (Nível 3) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Há \binom{6}{3}=20 triângulos com vértices no hexágono. Dividindo o hexágono em 6 triângulos equiláteros de área \frac{1}{6}, vemos que os triângulos se agrupam em três tipos.

1. Tipo 1: três vértices consecutivos (ex.: ABC). Há 6 triângulos. Cada um é formado por dois lados do hexágono e uma diagonal curta. Sua área é 2\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sen 120^\circ\cdot 6... é mais simples assim: ABC tem área \frac12 \cdot l\cdot l\cdot \sen 120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}l^2, igual à área de um triângulo equilátero de lado l. Logo vale \frac16.

2. Tipo 2: triângulos equiláteros ACE e BDF. Há 2. Cada um tem lado l\sqrt3, então área 3\cdot\frac16=\frac12.

3. Tipo 3: um lado do hexágono e um vértice oposto (ex.: ABD). Há 20-6-2=12 triângulos. ABD é retângulo em B... com catetos l e l\sqrt3, área \frac{\sqrt3}{2}l^2=2\cdot\frac{\sqrt3}{4}l^2, ou seja, \frac26=\frac13.

Soma:

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BErra a área de algum tipo de triângulo ou a contagem, resultando em 7.
• CSubestima a quantidade de triângulos retângulos (tipo 3) ou sua área.
• DEsquece parte dos 20 triângulos, por exemplo contando só 9 ou 10 deles.
• EMetade do valor correto, por usar áreas pela metade ou contar só parte dos triângulos.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Combinações e binômio de Newton.

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