Questão 14 (Nível 1) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Cada pilha é uma sequência de 6 posições com 2 cubos vermelhos (V), 2 amarelos (A) e 2 verdes (G). Cubos da mesma cor são idênticos, então só importa quais posições cada cor ocupa.

Os vermelhos não podem ficar na base (posição 1) nem no topo (posição 6). Logo, eles só podem ocupar as posições 2, 3, 4 e 5.

1. Escolher as 2 posições dos vermelhos entre as 4 possíveis:

   \binom{4}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.

2. Sobram 4 posições para os 2 amarelos e os 2 verdes. Escolher as posições dos amarelos:

   \binom{4}{2}=6,
   e os verdes ocupam o que restar.

3. Pelo princípio multiplicativo:

   6\cdot 6=36.

Conferindo por outro caminho: o total de pilhas sem restrição é \frac{6!}{2!\,2!\,2!}=90. Mesmo sem esse método, a contagem direta já dá 36, pois as escolhas dos vermelhos e das outras cores são independentes.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BConta apenas as escolhas dos vermelhos (6), esquecendo de arrumar amarelos e verdes.
• CNão corresponde a nenhuma contagem correta; o valor 20 seria \binom{6}{3}, sem relação com as cores.
• DUsa 5! ou 6!/3!, ignorando que cubos de mesma cor são indistinguíveis e a restrição dos vermelhos.
• EMultiplica 6\cdot 2, tratando só parte das posições restantes (como se verdes e amarelos tivessem apenas 2 arranjos).

Assunto: Permutações.

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