Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2024

Question

A figura mostra os algarismos de 0 a 9 construídos com palitos idênticos e com eles podemos formar números. Por exemplo, para formar o número 1531 são usados 14 palitos. Quantos números de quatro algarismos podem ser formados com 10 palitos ou menos?

Algarismos de 0 a 9 formados por palitos de fósforo: o algarismo 0 usa 6 palitos, o 1 usa 2 palitos, o 2 usa 5 palitos, o 3 usa 5 palitos, o 4 usa 4 palitos, o 5 usa 5 palitos, o 6 usa 6 palitos, o 7 usa 3 palitos, o 8 usa 7 palitos e o 9 usa 6 palitos.

A
10
B
2
C
15
D
20
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Nível 1) da OBMEP 2024

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

A figura mostra os algarismos de 0 a 9 construídos com palitos idênticos e com eles podemos formar números. Por exemplo, para formar o número 1531 são usados 14 palitos. Quantos números de quatro algarismos podem ser formados com 10 palitos ou menos?

Algarismos de 0 a 9 formados por palitos de fósforo: o algarismo 0 usa 6 palitos, o 1 usa 2 palitos, o 2 usa 5 palitos, o 3 usa 5 palitos, o 4 usa 4 palitos, o 5 usa 5 palitos, o 6 usa 6 palitos, o 7 usa 3 palitos, o 8 usa 7 palitos e o 9 usa 6 palitos.

A
10
B
2
C
15
D
20
E
6

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Vamos contar primeiramente quantos palitos cada um dos algarismos utiliza

Algarismo	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Palitos utilizados	6	2	5	5	4	5	6	3	7	6

[Figura: Dígitos de 0 a 9 representados em formato digital formados por palitos de fósforo.]

O algarismo que utiliza o menor número de palitos é o 1, que utiliza só 2 palitos, desse modo, o número de quatro algarismos que utiliza o menor número de palitos é o número 1111, que utiliza 2 \times 4 = 8 palitos.

O próximo algarismo que utiliza o menor número de palitos é o 7, que utiliza 3 palitos. Ao trocar um algarismo 1 por um algarismo 7 em 1111 obtemos números de quatro algarismos que utilizam 9 palitos, que são os seguintes: 1117, 1171, 1711 e 7111.

Para conseguir um número de quatro algarismos utilizando exatamente 10 palitos temos duas opções. Uma delas é utilizar dois algarismos 1 (isso utiliza 2 \times 2 = 4 palitos) e dois algarismos 7 (isso usa 2 \times 3 = 6 palitos) a outra é utilizar três algarismos 1 (isso utiliza 2 \times 3 = 6 palitos) e um algarismo 4 (isso usa 1 \times 4 = 4 palitos). Podemos formar então os números 1177, 1717, 1771, 7117, 7171 e 7711 e também os números 1114, 1141, 1411 e 4111.

Resumindo, com 8 palitos, só o 1111; com 9 palitos: 1117, 1171, 1711 e 7111; com 10 palitos 1177, 1717, 1771, 7117, 7171, 7711, 1114, 1141, 1411 e 4111. No total, são 15 números.

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Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, D; versão 3, E; versão 4, A; versão 5, B.

Resolução comentada

Pela figura, os palitos por algarismo são: 0\to6, 1\to2, 2\to5, 3\to5, 4\to4, 5\to5, 6\to6, 7\to3, 8\to7, 9\to6. Conferindo com o exemplo: 1531 usa 2+5+5+2=14 palitos, ok.

Um número de quatro algarismos não pode começar por 0. Cada algarismo usa no mínimo 2 palitos (o 1), então o mínimo é 8 palitos. Sobram no máximo 2 palitos de folga em relação a 1111.

A folga de cada troca em relação ao 1 é: 7 (+1), 4 (+2). Os demais algarismos custam +3 ou mais, o que passa de 10.

Casos:

Todos iguais a 1: 1111 usa 8 palitos. Há 1 número.
Um algarismo 7 e três 1: usa 9 palitos. A posição do 7 pode ser qualquer uma das 4: 4 números.
Dois algarismos 7 e dois 1: usa 10 palitos. Escolhendo as posições dos 7: \binom{4}{2}=6 números.
Um algarismo 4 e três 1: usa 10 palitos. 4 posições: 4 números.

Total: 1+4+6+4=15.

Nenhum número começa por 0, pois o 0 nem aparece nos casos.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsquece algum dos casos (por exemplo, o do algarismo 4 ou o de dois 7).
BConta só poucos números, como 1111 e mais um, sem considerar as posições.
DConta a mais, incluindo algarismos que estouram os 10 palitos ou números iniciados por 0.
EConsidera apenas os casos com dois 7 (6 números), ignorando os demais.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 12 no caderno Nível 1 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 1. Prova oficial ↗

Numeração da versão 1. Nas outras versões: versão 2, questão 13versão 3, questão 14versão 4, questão 10versão 5, questão 11