Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2024

Question

Pedro colocou os números 1, 2, 3, 4 e 5 nas casas do tabuleiro abaixo, um número em cada casa, sem repetir números nas linhas e nas colunas. Em seguida, ele somou os oito números colocados na primeira e na última colunas. Qual dos números abaixo não pode ser um resultado para a soma que Pedro fez?

Tabuleiro com grade de 4 linhas e 5 colunas

A
20
B
23
C
26
D
25
E
21

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Nível 3) da OBMEP 2024

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Pedro colocou os números 1, 2, 3, 4 e 5 nas casas do tabuleiro abaixo, um número em cada casa, sem repetir números nas linhas e nas colunas. Em seguida, ele somou os oito números colocados na primeira e na última colunas. Qual dos números abaixo não pode ser um resultado para a soma que Pedro fez?

Tabuleiro com grade de 4 linhas e 5 colunas

A
20
B
23
C
26
D
25
E
21

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Um preenchimento válido usa cada um dos números 1, 2, 3, 4, 5 quatro vezes (uma vez em cada linha). Para determinar que valores a soma dos números nas duas colunas extremas pode tomar, vamos encontrar os valores mínimo e máximo dessa soma. Para o valor mínimo, é natural tentar preencher as duas colunas usando apenas os números de 1 a 4, sem repetir números nas linhas, o que levaria a uma soma igual a 20. Isto é possível, como na figura abaixo.

1				2
2				1
3				4
4				3

No entanto, ao preencher o resto do tabuleiro, o 5, que não foi usado nas duas colunas, teria que ser usado 4 vezes e há apenas 3 colunas disponíveis, o que levaria a repeti-lo em alguma coluna. Logo, não é possível nem ter soma igual a 20, nem ter soma igual a 28 (que corresponde a usar apenas os números de 2 a 5 nas duas colunas extremas). Para obter um preenchimento válido, é preciso utilizar todos os números de 1 a 5 nas colunas extremas (três deles em ambas as colunas e os outros dois em apenas uma delas). Quando isto acontece, é sempre possível completar o tabuleiro de modo válido, como mostrado abaixo, onde a, b e c representam os números usados em ambas as colunas e d e e os números usados em apenas uma delas.

a	c	d	e	b
b	d	e	c	a
c	b	a	d	e
d	e	b	a	c

Escolhendo adequadamente os valores de a, b, c, d e e, conseguimos obter para as duas colunas extremas todas as somas entre 21 e 27, como mostra o quadro abaixo.

a	b	c	d	e	Soma das colunas extremas
1	2	3	4	5	21
1	2	4	3	5	22
1	3	4	2	5	23
2	3	4	1	5	24
2	3	5	1	4	25
2	4	5	1	3	26
3	4	5	1	2	27

Portanto, de todas as alternativas, a única que mostra uma soma que não pode ser obtida é a alternativa A.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

O tabuleiro tem 4 linhas e 5 colunas. Em cada coluna há 4 casas, e os números não se repetem. Então cada coluna usa 4 dos 5 números, e fica de fora exatamente um deles.

Se a coluna deixa de fora o número a, sua soma é 15-a. A primeira e a última colunas deixam de fora a e b, e a soma pedida é:

S = (15-a)+(15-b) = 30-(a+b).

Como a e b estão entre 1 e 5, podem ser iguais ou diferentes. Nas linhas, cada uma tem 5 casas com os 5 números, sem repetir. Então as duas colunas podem ou não deixar de fora o mesmo número.

Valores possíveis de a+b: de 2 (1 e 1) a 10 (5 e 5). Logo S vai de 20 a 28, em princípio.

Restrição: cada linha tem os 5 números, e as linhas têm 5 casas. Se a primeira coluna não tem o número a, ele aparece em alguma linha em outra coluna. Cada número aparece no máximo 4 vezes (uma por linha). Em cada linha, o número 5 aparece uma vez. Há 4 linhas, então cada número aparece exatamente 4 vezes no tabuleiro, uma por linha, e em colunas distintas. Como há 5 colunas, cada número falta em exatamente uma coluna. Assim, os números que faltam em cada coluna são todos diferentes: a\neq b.

Portanto a+b varia de 1+2=3 a 4+5=9, e S=30-(a+b) varia de 21 a 27.

Assim, S=20 é impossível, pois exigiria a+b=10, ou seja, a=b=5. Os demais valores: 21 (a+b=9), 23 (7), 25 (5) e 26 (4) são possíveis.

Alternativa A.

Pegadinha: A soma 20 parece possível se esquecermos que os números omitidos nas duas colunas devem ser diferentes (cada número aparece 4 vezes, uma em cada linha, em colunas distintas).

Por que as outras alternativas estão erradas

B23 corresponde a a+b=7, com a≠b, e é possível.
C26 corresponde a a+b=4 (1 e 3), e é possível.
D25 corresponde a a+b=5 (1 e 4 ou 2 e 3), e é possível.
E21 corresponde a a+b=9 (4 e 5), e é possível.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 11 no caderno Nível 3 da OBMEP 2024

Fonte: OBMEP 2024 · Nível 3. Prova oficial ↗

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