Questão 1 (Nível 2) da OBMEP 2024

Gabarito nas outras versões da prova: versão 2, B; versão 3, C; versão 4, D; versão 5, E.

Resolução comentada

Em um quadriculado 4\times 4, contamos todos os quadrados e depois tiramos os que contêm o quadradinho cinza, que está no canto superior esquerdo.

Total de quadrados (pelo tamanho do lado):

1. Lado 1: 4\cdot 4 = 16
2. Lado 2: 3\cdot 3 = 9
3. Lado 3: 2\cdot 2 = 4
4. Lado 4: 1\cdot 1 = 1

Total: 16+9+4+1 = 30.

Quadrados que contêm o cinza: como ele está no canto, um quadrado o contém se tiver um vértice no canto superior esquerdo do quadriculado. Para cada lado 1, 2, 3 ou 4, existe exatamente um quadrado assim. Logo, são 4 quadrados.

Quadrados que não contêm o cinza:

Conferindo por tamanho: lado 1 dá 15, lado 2 dá 8, lado 3 dá 3 e lado 4 dá 0, e 15+8+3+0=26.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BSubtrai 6 do total, removendo quadrados a mais que não contêm o cinza.
• CConta apenas os quadradinhos 1\times1 que não são cinza, esquecendo os quadrados maiores.
• DRemove quadrados demais ao subtrair 11 do total, como se o cinza estivesse em muitos quadrados.
• ESubtrai 12 do total, removendo bem mais quadrados do que os 4 que contêm o cinza.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Áreas e perímetros de polígonos.

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