Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

Miguel formou uma lista de oito números, obtidos preenchendo os espaços da expressão abaixo com todas as combinações possíveis de sinais + e –.

\underline{\hspace{0.6cm}} 1 \underline{\hspace{0.6cm}} \sqrt{2} \underline{\hspace{0.6cm}} \sqrt{3}

Qual é o produto desses oito números?

A
64
B
24
C
24\sqrt{6}
D
48
E
10

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Potenciação e radiciação

Miguel formou uma lista de oito números, obtidos preenchendo os espaços da expressão abaixo com todas as combinações possíveis de sinais + e –.

\underline{\hspace{0.6cm}} 1 \underline{\hspace{0.6cm}} \sqrt{2} \underline{\hspace{0.6cm}} \sqrt{3}

Qual é o produto desses oito números?

A
64
B
24
C
24\sqrt{6}
D
48
E
10

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Solução oficial da OBMEP

Agrupando convenientemente os números

+1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad +1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}, \quad +1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad +1 - \sqrt{2} - \sqrt{3},

-1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad -1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}, \quad -1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}, \quad -1 - \sqrt{2} - \sqrt{3},

e sabendo que

(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{6}\text{ e que}

(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{6}\text{, teremos:}

[1 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})]^2 \times [1 - (\sqrt{2} + \sqrt{3})]^2 \times [1 + (\sqrt{2} - \sqrt{3})]^2 \times [1 - (\sqrt{2} - \sqrt{3})]^2

= [(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 1]^2 \times [(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 - 1]^2 =

= (4 + 2\sqrt{6})^2 \times (4 - 2\sqrt{6})^2 = [(4 + 2\sqrt{6}) \times (4 - 2\sqrt{6})]^2 = (16 - 24)^2 = (-8)^2

= 64

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Resolução comentada

Os oito números são \pm 1 \pm \sqrt{2} \pm \sqrt{3}. A ideia é juntar em pares os números que diferem apenas no sinal de \sqrt{3} e usar a diferença de quadrados, (x+y)(x-y)=x^2-y^2.

Chame de x cada uma das quatro combinações de \pm1\pm\sqrt2. Cada x gera dois números, x+\sqrt3 e x-\sqrt3, e o produto desse par é:

(x+\sqrt3)(x-\sqrt3)=x^2-3

Agora calculamos x^2-3 para cada x:

x=1+\sqrt2: x^2=3+2\sqrt2, logo x^2-3=2\sqrt2.
x=-1-\sqrt2: o quadrado é o mesmo, então também dá 2\sqrt2.
x=1-\sqrt2: x^2=3-2\sqrt2, logo x^2-3=-2\sqrt2.
x=-1+\sqrt2: o quadrado é o mesmo, então também dá -2\sqrt2.

O produto dos oito números é o produto desses quatro resultados:

(2\sqrt2)(2\sqrt2)(-2\sqrt2)(-2\sqrt2)=(2\sqrt2)^4=64

Conferindo: (2\sqrt2)^2=8 e 8^2=64.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com o cálculo; não resulta de (2\sqrt2)^4.
CMantém radicais que na verdade desaparecem, pois os pares formam diferenças de quadrados.
DErra a potência ao calcular (2\sqrt2)^4, que é 64 e não 48.
EValor sem relação com o produto dos pares.

Assuntos: Potenciação e radiciação, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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Questão 8 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗