Questão 9 (Nível 2) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Vamos colocar o polígono em coordenadas, tomando o lado de cada quadradinho como unidade. Pela figura, as linhas verticais da malha estão em x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e as horizontais em y = 0, 1, 2, 3, 4 (de baixo para cima). Os vértices ficam em: (0,0), (2,0), (4,3), (2,2), (2,3) e de volta a (0,0).

O polígono tem vértices, em ordem: (0,0), (2,0), (4,3), (2,2), (2,3). Aplicamos a fórmula do cadarço, que calcula a área de um polígono a partir das coordenadas.

1. x_i y_{i+1}: 0\cdot0 + 2\cdot3 + 4\cdot2 + 2\cdot3 + 2\cdot0 = 0+6+8+6+0 = 20.
2. y_i x_{i+1}: 0\cdot2 + 0\cdot4 + 3\cdot2 + 2\cdot2 + 3\cdot0 = 0+0+6+4+0 = 10.
3. Área =\frac{|20-10|}{2} = 5 quadradinhos.

Conferindo: o paralelogramo (0,0), (2,0), (4,3), (2,3) tem base 2 e altura 3, com área 6. Retiramos o triângulo (2,2), (4,3), (2,3), de base 1 (vertical) e altura 2, com área 1. Sobra 6-1=5 quadradinhos.

Como o polígono vale 30\ \text{cm}^2, cada quadradinho tem:

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula só o paralelogramo (área 6) e esquece de subtrair o triângulo da reentrância.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACorresponderia a 15 quadradinhos, número que não aparece na contagem do polígono.
• BCorresponderia a 10 quadradinhos, o que seria o dobro da área real em unidades.
• CCorresponderia a 7,5 quadradinhos, valor que não resulta da área do polígono.
• DCorresponderia a 6 quadradinhos, o que acontece se esquecer de descontar o triângulo da reentrância do paralelogramo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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