Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2023

Question

A área do polígono amarelo com vértices em pontos do quadriculado é 30\text{ cm}^2. Qual é a área, em \text{cm}^2, de cada quadradinho do quadriculado?

Malha quadriculada com um polígono amarelo cujos vértices estão sobre os pontos da grade

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Nível 3) da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A área do polígono amarelo com vértices em pontos do quadriculado é 30\text{ cm}^2. Qual é a área, em \text{cm}^2, de cada quadradinho do quadriculado?

Malha quadriculada com um polígono amarelo cujos vértices estão sobre os pontos da grade

A
2
B
3
C
4
D
5
E
6

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Solução oficial da OBMEP

A área do polígono amarelo é igual a soma das áreas dos triângulos ABC e CDE. Seja l o lado de cada quadradinho do quadriculado, então a área do triângulo ABC é \frac{AC \cdot BC}{2} = \frac{2l \cdot 3l}{2} = 3l^2 e a área do triângulo CDE é \frac{CD \cdot BE}{2} = \frac{2l \cdot 2l}{2} = 2l^2 ;nesse último triângulo tomamos a base como CD e a altura como BE.

A área do polígono amarelo é, portanto, 3l^2 + 2l^2 = 5l^2 = 30\text{ cm}^2. Logo, l^2 = 6\text{ cm}^2, ou seja, um quadradinho do quadriculado tem área de 6\text{ cm}^2.

[Figura: Uma malha quadriculada de 6 colunas por 5 linhas sobre a qual estão marcados os pontos A, B, C, D e E nas interseções das linhas da grade. O segmento horizontal AC tem comprimento 2. O ponto B está 3 unidades acima de C. O ponto D está sobre o segmento vertical BC, a 2 unidades acima de C e 1 unidade abaixo de B. O ponto E está 2 unidades à direita de B, no mesmo nível horizontal. Os segmentos AB, BD, DE, EC e CA delimitam uma região sombreada formada pela união dos triângulos ABC e CDE.]

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Resolução comentada

A ideia é calcular a área do polígono em número de quadradinhos e depois dividir os 30\ \text{cm}^2 por esse número.

Coloque o canto inferior esquerdo do polígono na origem do quadriculado e leia os vértices na figura, em unidades de quadradinho: A(1,0), B(3,0), C(5,3), D(3,2) e E(3,3).

Uma forma simples de achar a área é pelo paralelogramo ABCF com F(3,3), do qual se retira o triângulo DCE... mas aqui basta o cálculo direto:

Paralelogramo A(1,0), B(3,0), C(5,3), E(3,3): base AB=2 e altura 3, logo área =2\cdot 3=6 quadradinhos.
O triângulo E D C foi "cortado" do paralelogramo (o entalhe amarelo): base ED=1 (de y=2 a y=3 em x=3) e altura horizontal 2 (de x=3 a x=5), logo área =\dfrac{1\cdot 2}{2}=1 quadradinho.
Área do polígono: 6-1=5 quadradinhos.

Agora, como 5 quadradinhos valem 30\ \text{cm}^2:

\text{área de um quadradinho}=\frac{30}{5}=6\ \text{cm}^2

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa o paralelogramo inteiro (6 quadradinhos) e esquece de subtrair o triângulo do entalhe.

Por que as outras alternativas estão erradas

ACorresponde a dividir 30 por 15, número de quadradinhos muito acima do real.
BCorresponde a 10 quadradinhos, contando o entalhe e a região em excesso.
CDaria 7,5 quadradinhos, valor que não corresponde à área do polígono.
DDaria 6 quadradinhos: esquece de descontar o entalhe do paralelogramo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 7 no caderno Nível 3 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗