Questão 10 (Nível 2) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Multiplicando as três igualdades, cada letra aparece duas vezes:

1. (ab)(bc)(ac) = a^2b^2c^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{36}.
2. Logo abc = \pm\frac{1}{6}.

Como a expressão pedida só tem quadrados, o sinal não importa. Tomando abc = \frac{1}{6} (o caso negativo dá os mesmos quadrados):

3. c = \dfrac{abc}{ab} = \dfrac{1/6}{1/2} = \dfrac{1}{3}, então \dfrac{1}{c^2} = 9.
4. a = \dfrac{abc}{bc} = \dfrac{1/6}{1/3} = \dfrac{1}{2}, então \dfrac{1}{a^2} = 4.
5. b = \dfrac{abc}{ac} = \dfrac{1/6}{1/6} = 1, então \dfrac{1}{b^2} = 1.

Conferindo: ab = \frac12\cdot 1 = \frac12, bc = 1\cdot\frac13 = \frac13, ac = \frac12\cdot\frac13 = \frac16. Tudo certo.

Soma: 4 + 1 + 9 = 14.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AErra a soma ou os valores dos inversos dos quadrados; não bate com 4, 1 e 9.
• BResultado sem relação com os valores corretos de a, b e c (por exemplo, perder um dos termos).
• DValor excessivo, que não corresponde à soma 4 + 1 + 9.
• EValor excessivo, que não corresponde à soma 4 + 1 + 9.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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