Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2023

Question

O desenho mostra uma roda gigante com Maria e Paulo sentados em cadeiras diametralmente opostas. Quando Maria está a 3 metros de altura com relação ao solo, Paulo encontra-se a 5 metros de altura. Qual será a altura de Paulo quando Maria estiver a 7 metros do solo?

A
0{,}5\text{ m}
B
1\text{ m}
C
1{,}5\text{ m}
D
2\text{ m}
E
2{,}5\text{ m}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Nível 2) da OBMEP 2023

Nível 2 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

O desenho mostra uma roda gigante com Maria e Paulo sentados em cadeiras diametralmente opostas. Quando Maria está a 3 metros de altura com relação ao solo, Paulo encontra-se a 5 metros de altura. Qual será a altura de Paulo quando Maria estiver a 7 metros do solo?

A
0{,}5\text{ m}
B
1\text{ m}
C
1{,}5\text{ m}
D
2\text{ m}
E
2{,}5\text{ m}

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução: Maria e Paulo sentam-se em cadeiras diametralmente opostas na roda gigante, por isso, a altura que um deles se encontra com relação ao solo é igual à que falta para o outro atingir a altura total da roda gigante com relação ao solo, ou seja, 3 + 5 = 8\text{ m} – pense na situação em que um está no ponto mais baixo da roda e outro no ponto mais alto. Portanto, quando Maria estiver a 7\text{ m} do solo, Paulo estará a 8 - 7 = 1\text{ m} do solo.

Outra solução: Observe a figura; m denota a altura de Maria e p a altura de Paulo com relação ao solo, estamos supondo p \le m, mas raciocínio análogo vale se p > m. Os triângulos em cinza são congruentes, o que garante que x = y. Portanto,

m - x = p + x = r + h, de onde se concluiu que m + p = m - x + p + x = 2 (r + h) é constante.

O enunciado nos diz que quando m = 3, p = 5 e nos pede p quando m = 7. Pelo que vimos, 7 + p = 3 + 5 = 8; logo, p = 1, isto é, Paulo estará a 1\text{ m} do solo quando Maria estiver a 7 metros.

[Figura: Diagrama de uma circunferência representando a roda gigante sobre uma linha horizontal tracejada que indica o solo. O centro da roda está conectado por um diâmetro aos pontos de Maria (no quadrante superior esquerdo) e de Paulo (no quadrante inferior direito). Dois triângulos retângulos congruentes, sombreados em cinza, têm hipotenusas de medida r sobre o diâmetro e catetos horizontais sobre o diâmetro horizontal: o superior tem cateto vertical x até Maria, e o inferior tem cateto vertical y até Paulo. As alturas em relação ao solo são indicadas por linhas verticais tracejadas: m para Maria, p para Paulo e h para a base inferior da circunferência.]

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Resolução comentada

Maria e Paulo estão em extremos de um diâmetro, então o centro da roda é o ponto médio entre eles. Por isso, a altura do centro é a média das alturas dos dois, em qualquer instante.

Altura do centro: \dfrac{3+5}{2}=4\ \text{m}.
O centro não se move, então essa altura vale 4\ \text{m} o tempo todo. Logo, a soma das alturas de Maria e Paulo é sempre 2\cdot 4 = 8\ \text{m}.
Quando Maria está a 7\ \text{m}, Paulo está a:

8-7=1\ \text{m}

Conferindo: Maria está 3\ \text{m} acima do centro, ou seja, 7-4=3, e Paulo fica 3\ \text{m} abaixo dele, ou seja, 4-3=1. Isso é possível, pois o raio da roda é no mínimo 3\ \text{m}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde à soma constante de 8 m; seria o caso de uma soma de 7,5 m.
CNão respeita a simetria em relação ao centro; a soma das alturas seria 8,5 m.
DDá soma 9 m, que não é o dobro da altura do centro (8 m).
EDá soma 9,5 m, incompatível com o centro a 4 m de altura.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Questão 8 no caderno Nível 2 da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2023 · Nível 2. Prova oficial ↗