Questão 6 (Nível 3) da OBMEP 2023

Resolução comentada

Como x^2 - 3x + 1 = 0, vemos que x \neq 0 (se x=0, a equação daria 1=0). Então podemos dividir toda a equação por x:

Agora precisamos de x^2 + \frac{1}{x^2}. Para isso, usamos o quadrado da soma:

Passos de cálculo:

1. Substituímos x + \frac{1}{x} = 3: 3^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}.
2. Ou seja, 9 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2.
3. Isolando: x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7.

O termo do meio, 2, aparece porque x\cdot\frac{1}{x}=1, e é ele que precisa ser subtraído no final.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana: (x+1/x)^2 = 9 é um valor intermediário, e falta subtrair o termo 2 do produto cruzado.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BSubtrai 1 em vez de 2 ao desfazer o quadrado, ou erra a conta do termo cruzado.
• CPara em (x+1/x)^2=9, esquecendo de subtrair o termo 2.
• DNão corresponde a nenhum cálculo correto; resultado sem base no quadrado da soma.
• ESoma 2 em vez de subtrair, obtendo 9+2.

Assuntos: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração, Equação do 2º grau.

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